(Questão 05 ) [2,0 pontos] Ache uma equação da superfície esférica de centro C=(1,2,-2) tangente ao plano \pi: x+2 y-2 z+3=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma esfera com centro C=(1,2,-2) que seja tangente ao plano
\pi: x + 2y - 2z + 3 = 0.
O conteúdo é geometria analítica de esferas e planos e usamos que, para tangência, o raio da esfera é igual à distância do centro C ao plano.

Passo 2

A forma geral da esfera de centro C=(1,2,-2) e raio r é
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = r^2.

Passo 3

Para que a esfera seja tangente ao plano \pi, precisamos de
r = \text{dist}\bigl(C,\pi\bigr)
onde a distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
\frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.

Passo 4

No nosso caso A=1, B=2, C=-2, D=3 e (x_0,y_0,z_0)=(1,2,-2), logo
\bigl|1\cdot1 + 2\cdot2 + (-2)\cdot(-2) + 3\bigr| = \bigl|1 + 4 + 4 + 3\bigr| = 12,
\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3,
portanto
r = \frac{12}{3} = 4.

Passo 5

Substituindo r=4 na equação geral, obtemos
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = 16.

Resposta

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = 16.

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