(6 pontos) Verifique se a equação é exata e, caso seja, resolva-a:
(y+y cos (x y)) d x+(x+x cos (x y)) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(y + y cos(xy)),dx + (x + x cos(xy)),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar o critério de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x e, em seguida, achar a função potencial psi(x,y) tal que
dpsi = M,dx + N,dy

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y + ycos(xy), N(x,y) = x + xcos(xy)
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1 + cos(xy) - xysin(xy),
partial Npartial x = 1 + cos(xy) - xysin(xy)
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar psi(x,y), integramos M em relação a x:
psi(x,y) = integral l(y + ycos(xy)r),dx = yx + integral ycos(xy),dx
Como y é tratado como constante, integral cos(xy),dx = tfrac1ysin(xy). Logo
psi(x,y) = xy + sin(xy) + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivamos psi em relação a y e igualamos a N:
partial psipartial y = x + xcos(xy) + h'(y) = x + xcos(xy)
Daqui vem h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante.

Passo 5

Portanto, a solução geral implícita é
xy + sin(xy) = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

xy + sin(xy) = C

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