Questão 1 Classifique cada uma das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo como linear, separável (não necessariamente nesta ordem), homogênea oú Bernoulli, e determine uma solução:
x \omega \omega^{\prime}=(1+x)(1+\omega)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x\,\omega\,\omega' = (1+x)\,(1+\omega)
e pede que a classifiquemos (linear, separável, homogênea ou Bernoulli) e em seguida obtenhamos uma solução. Vamos identificar o tipo e depois resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Para ver o tipo, escrevemos a equação na forma
\omega' = \frac{(1+x)(1+\omega)}{x\,\omega}.
O lado direito é um produto de uma função de x por uma função de \omega (após manipular). Logo esta EDO é do tipo separável. Não é linear em \omega, nem homogênea, nem Bernoulli.

Passo 3

Separamos as variáveis, isto é, agrupamos termos em \omega de um lado e termos em x do outro:
\frac{\omega}{1+\omega}\,d\omega = \frac{1+x}{x}\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
- Para a parte em \omega:
\int \frac{\omega}{1+\omega}\,d\omega = \int\Bigl(1 - \frac{1}{1+\omega}\Bigr)\,d\omega = \omega - \ln\bigl|1+\omega\bigr|.
- Para a parte em x:
\int \frac{1+x}{x}\,dx = \int\Bigl(\frac1x + 1\Bigr)\,dx = \ln\bigl|x\bigr| + x.

Passo 5

Igualando as primitivadas e incluindo a constante C, obtemos a solução implícita:
\omega - \ln\bigl|1+\omega\bigr| = x + \ln\bigl|x\bigr| + C.

Resposta

Tipo: separável.
Solução geral (implícita):
\omega - \ln\bigl|1+\omega\bigr| = x + \ln\bigl|x\bigr| + C.

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