(2 pontos) Considere o seguinte Problema de Valor Inicial:
y^{\prime}+\frac{3}{t} y=\frac{\cos t}{t^{3}}, \quad y(1)=2
a) ( 0,5 ponto) Encontre o fator integrante desta equação diferencial.
b) (1,5 pontos) Encontre a solução deste Problema de Valor Inicial.

Passo 1

O enunciado dá a Equação Diferencial Ordinária com condição inicial
y^{\prime}+\frac{3}{t}y=\frac{\cos t}{t^{3}},\qquad y(1)=2.
O que se pede:
  • (a) Encontrar o fator integrante desta equação diferencial (0,5 ponto).
  • (b) Resolver o Problema de Valor Inicial e fornecer a solução y(t) que satisfaz y(1)=2 (1,5 pontos).
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo que multiplica y é \dfrac{3}{t}.
  • O termo do lado direito é \dfrac{\cos t}{t^{3}}.
  • A condição inicial é y(1)=2, o que indica que podemos trabalhar no intervalo onde t>0 (pois há divisão por t).

Passo 2

Breve aula sobre o método do fator integrante (muito usado para equações lineares de primeira ordem).
Considere a equação linear de primeira ordem na forma padrão
y'+p(t)\,y=q(t).
O objetivo do fator integrante \mu(t) é transformar a equação numa forma exata: ao multiplicar toda a equação por \mu(t) queremos que a esquerda se torne a derivada do produto \mu(t)\,y. Ou seja, queremos
\mu(t)\,y'+\mu(t)\,p(t)\,y=(\mu(t)\,y)'.
Expandindo a derivada do produto:
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y.
Para que isso seja igual a \mu y' + \mu p y é preciso que
\mu'=\mu p.
Isto é uma equação separável para \mu: \dfrac{\mu'}{\mu}=p(t). Integrando,
\ln|\mu(t)|=\int p(t)\,dt + C,
logo, ignorando constantes multiplicativas irrelevantes,
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Observação prática: a constante de integração pode ser tomada como zero aqui, porque um fator integrante multiplicado por uma constante não altera a solução final.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: comparar com a forma y'+p(t)y=q(t). Aqui
p(t)=\frac{3}{t},\qquad q(t)=\frac{\cos t}{t^{3}}.
Calculemos o fator integrante usando a fórmula:
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int \frac{3}{t}\,dt\right).
A integral é simples:
\int \frac{3}{t}\,dt=3\ln|t|=\ln|t|^{3}.
Portanto
\mu(t)=\exp(\ln|t|^{3})=|t|^{3}.
Como a condição inicial usa t=1>0, podemos escolher o intervalo t>0 e então tomar
\mu(t)=t^{3}.

Passo 4

Agora multiplicamos a equação original por \mu(t)=t^{3}. Escrevendo:
t^{3}\left(y'+\frac{3}{t}y\right)=t^{3}\cdot\frac{\cos t}{t^{3}}.
No lado esquerdo distribuindo:
t^{3}y'+3t^{2}y.
Reconhecemos que isto é exatamente a derivada do produto t^{3}y, porque
(t^{3}y)'=t^{3}y'+3t^{2}y.
No lado direito a simplificação é imediata:
t^{3}\cdot\frac{\cos t}{t^{3}}=\cos t.
Logo a equação multiplicada pelo fator integrante fica
(t^{3}y)'=\cos t.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t. A integração da derivada do produto dá o próprio produto:
\int (t^{3}y)'\,dt = \int \cos t\,dt
t^{3}y=\sin t + C,
onde C é constante de integração. Agora isolamos y:
y(t)=\frac{\sin t + C}{t^{3}}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=2 para determinar C. Substituindo t=1 na expressão geral:
2=y(1)=\frac{\sin 1 + C}{1^{3}}=\sin 1 + C.
Portanto
C=2-\sin 1.
Substituindo em y(t) obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(t)=\frac{\sin t + 2 - \sin 1}{t^{3}}.
Lembrete final: esta solução é válida no intervalo onde escolhemos o fator integrante, isto é, para t>0. (Para t<0 o fator integrante seria |t|^{3}=(-t)^{3}=-t^{3}, e a forma geral se ajustaria — mas a condição inicial em t=1 fixa o intervalo positivo.)
Força aí — você já tem a técnica: achar p(t), integrar para obter \mu, multiplicar, reconhecer uma derivada de produto, integrar, e aplicar a condição inicial. Dá pra aplicar esse passo a passo em qualquer ODE linear de primeira ordem.

Resposta

a) \mu(t)=t^{3}
b) y(t)=\dfrac{\sin t + 2 - \sin 1}{t^{3}}

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