(2 pontos) Considere o seguinte Problema de Valor Inicial:
a) ( 0,5 ponto) Encontre o fator integrante desta equação diferencial.
b) (1,5 pontos) Encontre a solução deste Problema de Valor Inicial.
b) (1,5 pontos) Encontre a solução deste Problema de Valor Inicial.
Passo 1
O enunciado dá a Equação Diferencial Ordinária com condição inicial
O que se pede:
- (a) Encontrar o fator integrante desta equação diferencial (0,5 ponto).
- (b) Resolver o Problema de Valor Inicial e fornecer a solução
que satisfaz (1,5 pontos).
Informações relevantes fornecidas:
- O termo que multiplica
é . - O termo do lado direito é
. - A condição inicial é
, o que indica que podemos trabalhar no intervalo onde (pois há divisão por ).
Passo 2
Breve aula sobre o método do fator integrante (muito usado para equações lineares de primeira ordem).
Considere a equação linear de primeira ordem na forma padrão
O objetivo do fator integrante
é transformar a equação numa forma exata: ao multiplicar toda a equação por
queremos que a esquerda se torne a derivada do produto
. Ou seja, queremos
Expandindo a derivada do produto:
Para que isso seja igual a
é preciso que
Isto é uma equação separável para
:
. Integrando,
logo, ignorando constantes multiplicativas irrelevantes,
Observação prática: a constante de integração pode ser tomada como zero aqui, porque um fator integrante multiplicado por uma constante não altera a solução final.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: comparar com a forma
. Aqui
Calculemos o fator integrante usando a fórmula:
A integral é simples:
Portanto
Como a condição inicial usa
, podemos escolher o intervalo
e então tomar
Passo 4
Agora multiplicamos a equação original por
. Escrevendo:
No lado esquerdo distribuindo:
Reconhecemos que isto é exatamente a derivada do produto
, porque
No lado direito a simplificação é imediata:
Logo a equação multiplicada pelo fator integrante fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. A integração da derivada do produto dá o próprio produto:
onde
é constante de integração. Agora isolamos
:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na expressão geral:
Portanto
Substituindo em
obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
Lembrete final: esta solução é válida no intervalo onde escolhemos o fator integrante, isto é, para
. (Para
o fator integrante seria
, e a forma geral se ajustaria — mas a condição inicial em
fixa o intervalo positivo.)
Força aí — você já tem a técnica: achar
, integrar para obter
, multiplicar, reconhecer uma derivada de produto, integrar, e aplicar a condição inicial. Dá pra aplicar esse passo a passo em qualquer ODE linear de primeira ordem.
Resposta
a)
b)
b)