Questão 3 [2 pts - 1 cada]:
Seja
. Prove que
é par se, e somente se,
é par.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o número
é par exatamente quando
é par.
O conteúdo aqui é o conceito de número par (divisibilidade por 2) e uma prova de equivalência “se, e somente se”. Vamos usar a definição de par e a propriedade de que um produto de inteiros é par se, e somente se, pelo menos um dos fatores for par.
O conteúdo aqui é o conceito de número par (divisibilidade por 2) e uma prova de equivalência “se, e somente se”. Vamos usar a definição de par e a propriedade de que um produto de inteiros é par se, e somente se, pelo menos um dos fatores for par.
Passo 2
Definição de número par: um inteiro
é par se, e somente se, existe
tal que
Caso contrário,
é ímpar.
Passo 3
Prova da implicação direta
.
Suponha par. Então existe
com
Suponha
Logo,
Como
é inteiro, concluímos que
é múltiplo de 2, ou seja, é par.
Passo 4
Prova da implicação recíproca
.
Suponha que
Suponha que
é par. Repare que
Como o produto
é par, pelo menos um dos fatores é par. Ou
-
é par, ou -
é par.
Se
é par, então existe
tal que
. Daí
logo
também é par. Em qualquer dos casos,
é par.
Resposta
Portanto, mostramos as duas direções e concluímos que
é par se, e somente se,
é par.