Questão 3 [2 pts - 1 cada]:
Seja n \in \mathbb{Z}. Prove que (n+1)^{2}-1 é par se, e somente se, n é par.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o número
(n+1)^{2}-1
é par exatamente quando n é par.
O conteúdo aqui é o conceito de número par (divisibilidade por 2) e uma prova de equivalência “se, e somente se”. Vamos usar a definição de par e a propriedade de que um produto de inteiros é par se, e somente se, pelo menos um dos fatores for par.

Passo 2

Definição de número par: um inteiro n é par se, e somente se, existe k\in\mathbb{Z} tal que
n = 2k.
Caso contrário, n é ímpar.

Passo 3

Prova da implicação direta \bigl(n\text{ par}\bigr)\implies\bigl((n+1)^2-1\text{ par}\bigr).
Suponha n par. Então existe k\in\mathbb{Z} com
n = 2k.
Logo,
(n+1)^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = \bigl(4k^2 + 4k +1\bigr) - 1 = 4k^2 + 4k = 2\bigl(2k^2 + 2k\bigr).
Como 2k^2+2k é inteiro, concluímos que (n+1)^2-1 é múltiplo de 2, ou seja, é par.

Passo 4

Prova da implicação recíproca \bigl((n+1)^2-1\text{ par}\bigr)\implies\bigl(n\text{ par}\bigr).
Suponha que
(n+1)^2 - 1
é par. Repare que
(n+1)^2 - 1 = n^2 + 2n +1 -1 = n^2 + 2n = n(n+2).
Como o produto n(n+2) é par, pelo menos um dos fatores é par. Ou
  1. n é par, ou
  2. n+2 é par.
Se n+2 é par, então existe m\in\mathbb{Z} tal que n+2 = 2m. Daí
n = 2m - 2 = 2(m-1),
logo n também é par. Em qualquer dos casos, n é par.

Resposta

Portanto, mostramos as duas direções e concluímos que (n+1)^{2}-1 é par se, e somente se, n é par.

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