Questão 3 [2 pts - 1 cada]:
Prove que o cubo de todo inteiro n é da forma 7 k, 7 k+1 ou 7 k+6.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer inteiro n, o cubo n^3 só pode deixar resto 0, 1 ou 6 na divisão por 7. Em outras palavras, precisamos provar que existem inteiros k tais que
n^3 = 7k,\quad 7k+1\text{ ou }7k+6.
O conteúdo principal é divisão com resto (ou aritmética modular).

Passo 2

Escrevemos n em função do quociente e resto na divisão por 7. Seja
n = 7q + r,\qquad r\in\{0,1,2,3,4,5,6\}.
Então
n^3 = (7q+r)^3 = 343q^3 + 3\cdot49q^2r + 3\cdot7\,q\,r^2 + r^3.

Passo 3

Observe que os três primeiros termos da soma são múltiplos de 7:
343q^3 = 7\cdot(49q^3),\quad 3\cdot49q^2r = 7\cdot(21q^2r),\quad 3\cdot7\,q\,r^2 = 7\cdot(3q\,r^2).
Logo
n^3 = 7\bigl(49q^3 + 21q^2r + 3q\,r^2\bigr) + r^3 = 7K + r^3
para algum inteiro K.

Passo 4

Basta agora analisar r^3\mod7 para r=0,1,2,3,4,5,6:
0^3\equiv0,\; 1^3\equiv1,\; 2^3=8\equiv1,\; 3^3=27\equiv6,\; 4^3=64\equiv1,\; 5^3=125\equiv6,\; 6^3=216\equiv6\quad(\bmod7).
Portanto r^3 só pode ser congruente a 0, 1 ou 6 módulo 7.

Resposta

Como n^3 = 7K + r^3 e r^3\equiv0,1 ou 6\pmod7, concluímos que o cubo de qualquer inteiro n é da forma
7k,\quad 7k+1\quad\text{ou}\quad7k+6.

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