Questão 3 [2 pts - 1 cada]:
Prove que o cubo de todo inteiro
é da forma
ou
.
Prove que o cubo de todo inteiro
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para qualquer inteiro
, o cubo
só pode deixar resto
,
ou
na divisão por
. Em outras palavras, precisamos provar que existem inteiros
tais que
O conteúdo principal é divisão com resto (ou aritmética modular).
Passo 2
Escrevemos
em função do quociente e resto na divisão por
. Seja
Então
Passo 3
Observe que os três primeiros termos da soma são múltiplos de
:
Logo
para algum inteiro
.
Passo 4
Basta agora analisar
para
:
Portanto
só pode ser congruente a
,
ou
módulo
.
Resposta
Como
e
ou
, concluímos que o cubo de qualquer inteiro
é da forma