com x(0)=1 e y(0)=1, onde \alpha e \beta são números reais. Determine em cada caso algúm valor possível para \alpha e para \beta tal que
(a) A solução do sistema é periódica.
(b) A solução do sistema se aproxima da origem quando t \rightarrow \infty.
(c) (0,0) é um equilibrio tipo ponto de sela.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x' = \alpha x + \beta y,\\\ y' = -4x + y, \end{cases}
com condições iniciais x(0)=1, y(0)=1, e pede exemplos de \alpha e \beta para três situações:
solução periódica (centro),
solução que vai para a origem (t\to\infty),
ponto de sela.
O conteúdo aqui é análise qualitativa de sistemas lineares pelo traço e determinante da matriz de coeficientes.
Passo 2
Escrevemos a matriz do sistema
A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta\\\\ -4 & 1 \end{pmatrix}.