(3.0 pontos) Considere o seguinte sistema de equações diferenciais:
\begin{aligned} x^{\prime} & =\alpha x+\beta y \\\ y^{\prime} & =-4 x+y \end{aligned}
com x(0)=1 e y(0)=1, onde \alpha e \beta são números reais. Determine em cada caso algúm valor possível para \alpha e para \beta tal que
(a) A solução do sistema é periódica.
(b) A solução do sistema se aproxima da origem quando t \rightarrow \infty.
(c) (0,0) é um equilibrio tipo ponto de sela.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x' = \alpha x + \beta y,\\\ y' = -4x + y, \end{cases}
com condições iniciais x(0)=1, y(0)=1, e pede exemplos de \alpha e \beta para três situações:
  1. solução periódica (centro),
  2. solução que vai para a origem ( t\to\infty),
  3. ponto de sela.
O conteúdo aqui é análise qualitativa de sistemas lineares pelo traço e determinante da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a matriz do sistema
A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta\\\\ -4 & 1 \end{pmatrix}.
Seus invariantes são:
\tau = \operatorname{tr}A = \alpha + 1, \qquad \Delta = \det A = \alpha\cdot1 - (\beta)(-4) = \alpha + 4\beta.
As propriedades dos autovalores vêm de \tau e \Delta:
  • autovalores puros imaginários se e só se \tau=0 e \Delta>0 (centro);
  • estabilidade assintótica se \tau<0 e \Delta>0 (nó ou foco estável);
  • ponto de sela se \Delta<0.

Passo 3

Para ter solução periódica (centro) precisamos de
\tau=0 e \Delta>0.
Isto é
\alpha + 1 = 0 \implies \alpha = -1,
\alpha + 4\beta > 0 \implies -1 + 4\beta > 0 \implies \beta > \tfrac14.
Por exemplo, escolha \alpha=-1 e \beta=1.

Passo 4

Para que a solução se aproxime da origem precisamos de estabilidade assintótica:
\tau<0 e \Delta>0.
Isto é
\alpha + 1 < 0 \implies \alpha < -1,
\alpha + 4\beta > 0 \implies \beta > -\frac{\alpha}{4}.
Um exemplo simples é \alpha=-2 e \beta=1, pois aí
\tau=-1<0 e \Delta=-2+4=2>0.

Passo 5

Para ter ponto de sela basta que \Delta<0:
\alpha + 4\beta < 0.
Por exemplo, escolha \alpha=0 e \beta=-1, pois
\Delta=0+4(-1)=-4<0.

Resposta

(a) \alpha = -1, \beta = 1.
(b) \alpha = -2, \beta = 1.
(c) \alpha = 0, \beta = -1.

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