(4.5 pontos) Determine a solução do sistema linear, não- homogêneo, de equações diferenciais:
com condições iniciais
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução do sistema linear não-homogêneo de EDOs
com as condições iniciais
e
.
Este é um sistema da forma . Vamos usar o método de autovalores e autovetores para a solução homogênea e um vetor constante para a solução particular.
Este é um sistema da forma
Passo 2
Escrevendo em forma matricial,
A parte homogênea satisfaz
. O polinômio característico de
é
cuja solução é
Para
, resolve-se
e obtém-se
.
Para , resolve-se
e obtém-se
.
Logo, a solução homogênea é
Para
Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Buscamos uma solução particular constante
Somando a primeira com o dobro da segunda:
Substituindo em (3x_{p}-2y_{p}=-18] vem
Portanto
Portanto
Passo 4
A solução geral é
Em
Isto gera o sistema
Subtraindo a segunda da primeira:
.
Passo 5
Voltando às componentes, temos