(4.5 pontos) Determine a solução do sistema linear, não- homogêneo, de equações diferenciais:
\begin{aligned} & x^{\prime}=-3 x+4 y+12 \\\ & y^{\prime}=3 x-2 y+18 \end{aligned}
com condições iniciais x(0)=0 ; y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução do sistema linear não-homogêneo de EDOs
x' = -3x + 4y + 12,\quad y' = 3x - 2y + 18
com as condições iniciais x(0)=0 e y(0)=0.
Este é um sistema da forma \mathbf X' = A\mathbf X + \mathbf b. Vamos usar o método de autovalores e autovetores para a solução homogênea e um vetor constante para a solução particular.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial,
A = \begin{pmatrix}-3 & 4 \\[6pt]3 & -2\end{pmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{pmatrix}12 \\[3pt]18\end{pmatrix}.
A parte homogênea satisfaz \mathbf X' = A\mathbf X. O polinômio característico de A é
\lambda^2 - \bigl(\mathrm{tr}\,A\bigr)\lambda + \det A = \lambda^2 +5\lambda -6 = 0,
cuja solução é
\lambda_{1} = 1,\quad \lambda_{2} = -6.
Para \lambda_{1}=1, resolve-se (A - I)v=0 e obtém-se v_{1} = (1,1)^{T}.
Para \lambda_{2}=-6, resolve-se (A +6I)v=0 e obtém-se v_{2} = (4,-3)^{T}.
Logo, a solução homogênea é
\mathbf X_{h}(t) = C_{1}e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}e^{-6t}\begin{pmatrix}4\\\ -3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Buscamos uma solução particular constante \mathbf X_{p}=(x_{p},y_{p})^{T}\) tal que \(A\mathbf X_{p} + \mathbf b = 0\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} -3x_{p} + 4y_{p} = -12,\\\\ 3x_{p} -2y_{p} = -18. \end{cases}
Somando a primeira com o dobro da segunda:
-3x_{p}+4y_{p} + (6x_{p}-4y_{p}) = -12 -36 \\ \Longrightarrow\\\ 3x_{p} = -48 \\ \Longrightarrow\\ x_{p} = -16.
Substituindo em (3x_{p}-2y_{p}=-18] vem
-48 -2y_{p} = -18 \\ \Longrightarrow\\ y_{p} = -15.
Portanto
\mathbf X_{p} = \begin{pmatrix}-16\\\ -15\end{pmatrix}.

Passo 4

A solução geral é
\mathbf X(t) = \mathbf X_{h}(t) + \mathbf X_{p} = C_{1}e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}e^{-6t}\begin{pmatrix}4\\\ -3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-16\\\ -15\end{pmatrix}.
Em t=0\) deve-se ter \(\mathbf X(0)=(0,0)^{T}\), ou seja \[C_{1}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_{2}\begin{pmatrix}4\\\ -3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-16\\\ -15\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema
\begin{cases} C_{1} + 4C_{2} = 16,\\\ C_{1} - 3C_{2} = 15. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira: 7C_{2}=1\Rightarrow C_{2}=\tfrac{1}{7}\]. Então \(C_{1}=15+3C_{2}=15+\tfrac{3}{7}=\tfrac{108}{7}.

Passo 5

Voltando às componentes, temos
x(t) = \frac{108}{7}e^{t} + \frac{4}{7}e^{-6t} \;-\; 16, \qquad y(t) = \frac{108}{7}e^{t} - \frac{3}{7}e^{-6t} \;-\; 15.

Resposta

x(t) = \frac{108}{7}\,e^{t} \;+\;\frac{4}{7}\,e^{-6t} \;-\;16, \quad y(t) = \frac{108}{7}\,e^{t} \;-\;\frac{3}{7}\,e^{-6t} \;-\;15.

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