( 2.5 pontos) O seguinte sistema pode ser usado para modelar a interação entre duas populações que competem pelos mesmos recursos naturais em um certo ecosistema:
\begin{aligned} & x^{\prime}=x(8-4 x-y) \\\ & y^{\prime}=y(6-3 x-y) \end{aligned}
onde x(t) e y(t) representam a quantidade aproximada (em milhares) de individuos de cada população. Determine, classifique e interprete as soluções de equilibrio do sistema.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de equações diferenciais que modela duas populações x(t) e y(t) competindo por recursos, do tipo Lotka–Volterra com interação competitiva. Precisamos encontrar os pontos de equilíbrio (soluções constantes), linearizar o sistema pelo jacobiano e, a partir dos autovalores, classificar a estabilidade de cada ponto e interpretar o resultado biologicamente.

Passo 2

Para achar os equilíbrios, impomos
x' = x(8 - 4x - y) = 0,
y' = y(6 - 3x - y) = 0.
Cada equação anula-se se x=0 ou 8-4x-y=0, e se y=0 ou 6-3x-y=0. As combinações viáveis em \mathbb{R}_{\ge0}^2 são:
\,(x,y)=(0,0),
\,(x,y)=(2,0) pois 8-4\cdot2-0=0,
\,(x,y)=(0,6) pois 6-3\cdot0-6=0.
Não há outro ponto interior com x>0,y>0.

Passo 3

Calculamos o jacobiano geral do sistema
J(x,y) =\begin{pmatrix} \partial_x[x(8-4x-y)] & \partial_y[x(8-4x-y)]\\\ \partial_x[y(6-3x-y)] & \partial_y[y(6-3x-y)] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-8x-y & -\,x\\\\ -\,3y & 6-3x-2y \end{pmatrix}.

Passo 4

Avaliando em (0,0) e (0,6):
Para (0,0):
J(0,0)=\begin{pmatrix}8&0\\\ 0&6\end{pmatrix},
autovalores \lambda_1=8>0, \lambda_2=6>0. É um nó instável (fonte), pois ambas as direções crescem.
Para (0,6):
J(0,6)=\begin{pmatrix}8-6&0\\\ -18&6-12\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&0\\\ -18&-6\end{pmatrix},
autovalores \lambda_1=2>0, \lambda_2=-6<0. É uma sela, pois há uma direção de crescimento e outra de decaimento.

Passo 5

Avaliando em (2,0):
J(2,0)=\begin{pmatrix}8-16&-2\\\ 0&6-6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-8&-2\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Os autovalores são \lambda_1=-8 e \lambda_2=0 (ponto semi-hiperbólico). Para estudar a direção associada a \lambda_2=0 (eixo y), olhamos a equação em y perto de x=2:
y' = y\bigl(6-3\cdot2 - y\bigr) = -\,y^2<0\quad(\text{para }y>0),
logo y\to0. Na direção de \lambda_1, x decai exponencialmente (coeficiente -8). Portanto (2,0) atrai soluções vizinhas (é um poço semi-hiperbólico, atraente no primeiro quadrante).

Passo 6

Interpretando biologicamente:
(0,0): extinção de ambas as espécies, mas instável, pois se introduzirem indivíduos qualquer população cresce.
(0,6): só sobrevive y, mas é sela — instável para certas perturbações (uma pequena população de x cresce e leva ao estado diferente).
(2,0): só sobrevive x (duas milhargas de indivíduos), e esse ponto é estável no sentido prático — qualquer pequena invasão de y morre, e x retorna a 2. Logo, na competição, a espécie x exclui y.

Resposta

Os equilíbrios são
(0,0)\text{ (nó instável)},\quad (0,6)\text{ (sela)},\quad (2,0)\text{ (ponto semi-hiperbólico atraente)}.óáó
Biologicamente, a espécie x vence a competição e y é extinta.

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