( 2.5 pontos) O seguinte sistema pode ser usado para modelar a interação entre duas populações que competem pelos mesmos recursos naturais em um certo ecosistema:
onde x(t) e y(t) representam a quantidade aproximada (em milhares) de individuos de cada população. Determine, classifique e interprete as soluções de equilibrio do sistema.
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema de equações diferenciais que modela duas populações x(t) e y(t) competindo por recursos, do tipo Lotka–Volterra com interação competitiva. Precisamos encontrar os pontos de equilíbrio (soluções constantes), linearizar o sistema pelo jacobiano e, a partir dos autovalores, classificar a estabilidade de cada ponto e interpretar o resultado biologicamente.
Passo 2
Para achar os equilíbrios, impomos
x' = x(8 - 4x - y) = 0,
y' = y(6 - 3x - y) = 0.
Cada equação anula-se se x=0 ou 8-4x-y=0, e se y=0 ou 6-3x-y=0. As combinações viáveis em \mathbb{R}_{\ge0}^2 são: \,(x,y)=(0,0), \,(x,y)=(2,0) pois 8-4\cdot2-0=0, \,(x,y)=(0,6) pois 6-3\cdot0-6=0.
Não há outro ponto interior com x>0,y>0.
Os autovalores são \lambda_1=-8 e \lambda_2=0 (ponto semi-hiperbólico). Para estudar a direção associada a \lambda_2=0 (eixo y), olhamos a equação em y perto de x=2:
logo y\to0. Na direção de \lambda_1, x decai exponencialmente (coeficiente -8). Portanto (2,0) atrai soluções vizinhas (é um poço semi-hiperbólico, atraente no primeiro quadrante).
Passo 6
Interpretando biologicamente:
– (0,0): extinção de ambas as espécies, mas instável, pois se introduzirem indivíduos qualquer população cresce.
– (0,6): só sobrevive y, mas é sela — instável para certas perturbações (uma pequena população de x cresce e leva ao estado diferente).
– (2,0): só sobrevive x (duas milhargas de indivíduos), e esse ponto é estável no sentido prático — qualquer pequena invasão de y morre, e x retorna a 2. Logo, na competição, a espécie x exclui y.