(6 pontos ) Sejam U e V vetores formando um ângulo \theta=\frac{\pi}{6} entre si. Se \|U\|=2 e \|V\|=\sqrt{3} então o valor de a=(U+V) \cdot U é:
(a) a=7
(b) a=2
(c) a=\sqrt{3}
(d) a=6
(e) a=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
a=(U+V)\cdot U
sabendo que \|U\|=2, \|V\|=\sqrt{3} e que o ângulo entre U e V é \theta=\frac{\pi}{6}.
O conteúdo aqui é produto escalar em \mathbb{R}^n:
X\cdot Y=\|X\|\;\|Y\|\cos\angle(X,Y).

Passo 2

Expandimos
(U+V)\cdot U = U\cdot U + V\cdot U.

Passo 3

Calculemos U\cdot U. Pela propriedade do produto escalar,
U\cdot U = \|U\|^2 = 2^2 = 4.

Passo 4

Agora V\cdot U. Como o ângulo entre V e U é \theta=\tfrac{\pi}{6},
V\cdot U = \|V\|\;\|U\|\cos\theta = \bigl(\sqrt{3}\bigr)\,(2)\,\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 5

Sabemos que \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo,
V\cdot U = \sqrt{3}\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = (\cancel{2}/\cancel{2})\,(\sqrt{3}\,\sqrt{3}) =3.

Passo 6

Finalmente, juntando os resultados:
a = U\cdot U + V\cdot U = 4 + 3 = 7.

Resposta

(a) a = 7

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