(6 pontos ) A projeção ortogonal do vetor V=2 \vec{i}+6 \vec{j}+\vec{k} sobre o vetor U=2 \vec{i}-2 \vec{j} é:
(a) 2 \vec{i}+3 \vec{j}
(b) 4 \vec{i}+6 \vec{j}
(c) -2 \vec{i}+2 \vec{j}
(d) \vec{i}+\vec{j}
(e) \vec{i}-\vec{j}

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de \vec V = 2\vec i + 6\vec j + \vec k sobre \vec U = 2\vec i - 2\vec j. Vamos usar produto escalar e a fórmula da projeção de \vec V em \vec U:
\mathrm{proj}_{\vec U}\vec V \;=\;\frac{\vec V\cdot \vec U}{\vec U\cdot \vec U}\,\vec U.

Passo 2

Calcular os produtos escalares \vec V\cdot \vec U e \vec U\cdot \vec U:
\vec V\cdot \vec U = 2\cdot2 + 6\cdot(-2) + 1\cdot0 = 4 - 12 = -8,
\vec U\cdot \vec U = 2^2 + (-2)^2 + 0^2 = 4 + 4 = 8.

Passo 3

Substituindo na fórmula da projeção:
\mathrm{proj}_{\vec U}\vec V = \frac{-8}{8}\,\vec U = -1\,(2\vec i - 2\vec j) = -2\vec i + 2\vec j.

Passo 4

Comparando com as alternativas, o vetor -2\vec i + 2\vec j corresponde à letra (c).

Resposta

(c)

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