(9 pontos) Considere um sistema físico com equação de movimento dada por
Transforme essa EDO em um sistema autônomo de EDOs, encontre sua solução geral e classifique o ponto crítico em questão.
Extra: (2 pontos) Esboce o plano de fase desse sistema.
Boa prova!
Extra: (2 pontos) Esboce o plano de fase desse sistema.
Passo 1
O enunciado dá a equação de segunda ordem
e pede (i) transformá-la num sistema autônomo de primeira ordem, (ii) encontrar a solução geral e (iii) classificar o ponto crítico. Vamos usar a técnica de definir
para obter um sistema linear à forma
, depois achar autovalores, autovetores, montar a solução e ver a natureza do ponto
.
Passo 2
Definimos
logo
Em vetor
isso é
Passo 3
Para achar os autovalores
de
resolvemos
As raízes são
Para
o autovetor satisfaz
, escolhemos
.
Para temos
, escolhemos
.
Para
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear dos modos:
Em componentes isso dá
Passo 5
Os autovalores têm sinais opostos (
,
), logo o ponto crítico
é um ponto de sela (saddle), instável e hiperbólico.
Passo 6
No plano de fase aparecem duas direções invariantes:
– Linha estável ao longo do autovetor , em que as trajetórias convergem à origem conforme
.
– Linha instável ao longo de , em que as trajetórias divergem conforme
.
As demais soluções aproximam-se do estável e depois são expulsas pelo instável, formando o retrato clássico de sela.
– Linha estável ao longo do autovetor
– Linha instável ao longo de
As demais soluções aproximam-se do estável e depois são expulsas pelo instável, formando o retrato clássico de sela.
Resposta
Sistema autônomo:
Solução geral:
Classificação do ponto crítico
: ponto de sela (instável, hiperbólico).
Esboço do plano de fase: duas retas invariantes pelas direções (instável) e
(estável), com as demais trajetórias sendo repelidas ao sair e atraídas antes de chegar à origem.
Esboço do plano de fase: duas retas invariantes pelas direções