(9 pontos) Considere um sistema físico com equação de movimento dada por
ddotx=4 x+3 dotx
Transforme essa EDO em um sistema autônomo de EDOs, encontre sua solução geral e classifique o ponto crítico em questão.
Extra: (2 pontos) Esboce o plano de fase desse sistema.
Boa prova!

Passo 1

O enunciado dá a equação de segunda ordem
ddotx=4x+3dotx
e pede (i) transformá-la num sistema autônomo de primeira ordem, (ii) encontrar a solução geral e (iii) classificar o ponto crítico. Vamos usar a técnica de definir y=dotx para obter um sistema linear à forma dot X=A,X, depois achar autovalores, autovetores, montar a solução e ver a natureza do ponto X=0.

Passo 2

Definimos
logo
Em vetor isso é

Passo 3

Para achar os autovalores lambda de A resolvemos
det(A-lambda I) = det!-lambda&14&3-lambda =lambda^2-3lambda-4=0
As raízes são
lambda1=3+52=4, lambda2=3-52=-1
Para lambda1=4 o autovetor satisfaz
(A-4I)v=0Rightarrow -4v1+v2=0, escolhemos v^(1)=(1,4)^T.
Para lambda2=-1 temos
(A+I)v=0Rightarrow v1+v2=0, escolhemos v^(2)=(1,-1)^T.

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos:
X(t) = C1e^4t14 + C2e^-t1-1
Em componentes isso dá
x(t)=C1e^4t+C2e^-t, y(t)=4C1e^4t-C2e^-t

Passo 5

Os autovalores têm sinais opostos ( 4>0, -1<0), logo o ponto crítico X=0 é um ponto de sela (saddle), instável e hiperbólico.

Passo 6

No plano de fase aparecem duas direções invariantes:
– Linha estável ao longo do autovetor (1,-1), em que as trajetórias convergem à origem conforme e^-t.
– Linha instável ao longo de (1,4), em que as trajetórias divergem conforme e^4t.
As demais soluções aproximam-se do estável e depois são expulsas pelo instável, formando o retrato clássico de sela.

Resposta

Sistema autônomo:
dotx=y, doty=4x+3y
Solução geral:
x(t)=C1e^4t+C2e^-t, y(t)=4C1e^4t-C2e^-t
Classificação do ponto crítico X=0: ponto de sela (instável, hiperbólico).
Esboço do plano de fase: duas retas invariantes pelas direções (1,4) (instável) e (1,-1) (estável), com as demais trajetórias sendo repelidas ao sair e atraídas antes de chegar à origem.

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