(2.5 pontos) Determine valor(es) de a para que o sistema linear seja possível e indeterminado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares para descobrir os valores de a que fazem com que ele seja possível e indeterminado. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e suas condições de existência e quantidade de soluções. Para resolver, vamos precisar usar métodos para analisar se o sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções, como o método de matrizes ou determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada para facilitar a análise:
2 & 1 & -1 & | & -4 -1 & a & 3 & | & a 1 & 3 & a & | & -2
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para verificar quando ele é zero. Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo do lado direito. Queremos o caso de infinitas soluções.
A matriz dos coeficientes é:
2 & 1 & -1 -1 & a & 3 1 & 3 & a
O determinante ( De<a ) dessa matriz é calculado por:
De<a = 2(a cdot a - 3 cdot 3) - 1(-1 cdot a - 3 cdot 1) + (-1)(-1 cdot 3 - a cdot 1)
Passo 4
Vamos simplificar o determinante:
De<a = 2(a^2 - 9) - 1(-a - 3) + (-1)(-3 - a)
De<a = 2a^2 - 18 + a + 3 + 3 + a
De<a = 2a^2 + 2a - 12
Passo 5
Para o sistema ser possível e indeterminado, o determinante deve ser zero:
2a^2 + 2a - 12 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
a^2 + a - 6 = 0
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática a^2 + a - 6 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = 1 e c = -6 :
a = -1 pm raiz1 + 242
a = -1 pm raiz252
a = -1 pm 52
Passo 7
Calculando as duas possibilidades:
a = -1 + 52 = 42 = 2
a = -1 - 52 = -62 = -3
Resposta
Os valores de a que deixam o sistema possível e indeterminado são a = 2 e a = -3 .