(2.5 pontos) Determine o(s) valor(es) de a para que o sistema linear ll2 x+y-z & =-4 -x+a y+3 z & =a x+3 y+a z & =-2 seja possível e determinado:
Resposta: a in R--3,2.
Solução: Matriz associada: [ccc|c2 & 1 & -1 & -4 -1 & a & 3 & a 1 & 3 & a & -2] l2 L2+L1 L2 2 L3-L3 L3
l [ccc|c 2 & 1 & -1 & -4 0 & 2 a+1 & 5 & 2 a-4 0 & 5 & 2 a+1 & 0 ] (2 a+1) L3-5 L2 L3[ccc|c 2 & 1 & -1 & -4 0 & 2 a+1 & 5 & 2 a-4 0 & 0 & (2 a+1)^2-25 & 5(2 a-4) ]
Assim para que o sitema seja possível e determinando é necessário que (2 a+1)^2-25 neq 0 . Ou seja, a neq-3 e a neq 2

Passo 1

Vamos resolver um sistema linear composto por três equações com três incógnitas: x , y e z . Nosso objetivo é encontrar os valores de a que tornam esse sistema possível e determinado, ou seja, que o sistema tenha uma única solução. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes associadas e operações elementares para simplificar o sistema e encontrar as condições necessárias para que ele tenha solução única.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que facilita a aplicação das operações de linha para resolver o sistema:
2 & 1 & -1 & | & -4 -1 & a & 3 & | & a 1 & 3 & a & | & -2

Passo 3

Agora, vamos aplicar operações que simplificam a matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma mais simples, onde possamos facilmente encontrar os valores de a .
Operação 1: Multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos com a primeira linha para eliminar o termo -1 da segunda linha.
2L2 + L1 L2
Aplicando essa operação:
2 & 1 & -1 & | & -4 0 & 2a + 1 & 5 & | & 2a - 4 1 & 3 & a & | & -2

Passo 4

Operação 2: Multiplicamos a terceira linha por 2 e subtraímos a primeira linha para eliminar o termo 1 da terceira linha.
2L3 - L1 L3
Aplicando essa operação:
2 & 1 & -1 & | & -4 0 & 2a + 1 & 5 & | & 2a - 4 0 & 5 & 2a + 1 & | & 0

Passo 5

Agora, queremos eliminar o termo 5 da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por (2a + 1) e subtraímos 5 vezes a segunda linha da terceira linha.
(2a + 1)L3 - 5L2 L3
Aplicando essa operação:
2 & 1 & -1 & | & -4 0 & 2a + 1 & 5 & | & 2a - 4 0 & 0 & (2a + 1)^2 - 25 & | & 5(2a - 4)

Passo 6

Para que o sistema seja possível e determinado, precisamos que não haja contradições e que o sistema não seja dependente. Isso significa que o determinante da matriz dos coeficientes não pode ser zero. Observando a última linha da matriz, temos a expressão:
(2a + 1)^2 - 25 neq 0
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de a :
(2a + 1)^2 - 25 neq 0 (2a + 1)^2 neq 25 2a + 1 neq pm 5
Resolvendo para cada caso:
  1. 2a + 1 neq 5 :
2a neq 4 a neq 2
  1. 2a + 1 neq -5 :
2a neq -6 a neq -3

Resposta

Os valores de a para que o sistema seja possível e determinado são todos os números reais exceto a = -3 e a = 2 . Ou seja,
a in R setminus -3, 2

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