(2.5 pontos) Determine o(s) valor(es) de a para que o sistema linear seja possível e determinado:
Resposta: a in R--3,2.
Solução: Matriz associada: [ccc|c2 & 1 & -1 & -4 -1 & a & 3 & a 1 & 3 & a & -2] l2 L2+L1 L2 2 L3-L3 L3
Assim para que o sitema seja possível e determinando é necessário que (2 a+1)^2-25 neq 0 . Ou seja, a neq-3 e a neq 2
Passo 1
Vamos resolver um sistema linear composto por três equações com três incógnitas: x , y e z . Nosso objetivo é encontrar os valores de a que tornam esse sistema possível e determinado, ou seja, que o sistema tenha uma única solução. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes associadas e operações elementares para simplificar o sistema e encontrar as condições necessárias para que ele tenha solução única.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que facilita a aplicação das operações de linha para resolver o sistema:
2 & 1 & -1 & | & -4 -1 & a & 3 & | & a 1 & 3 & a & | & -2
Passo 3
Agora, vamos aplicar operações que simplificam a matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma mais simples, onde possamos facilmente encontrar os valores de a .
Operação 1: Multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos com a primeira linha para eliminar o termo -1 da segunda linha.
Agora, queremos eliminar o termo 5 da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por (2a + 1) e subtraímos 5 vezes a segunda linha da terceira linha.
Para que o sistema seja possível e determinado, precisamos que não haja contradições e que o sistema não seja dependente. Isso significa que o determinante da matriz dos coeficientes não pode ser zero. Observando a última linha da matriz, temos a expressão:
(2a + 1)^2 - 25 neq 0
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de a :