Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas matrizes A e B e precisa encontrar o traço da matriz X que satisfaz a equação:
10(A^t)^-1 cdot B + X^t cdot B = B cdot A^t cdot B + B^2
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes inversas, transpostas, multiplicação de matrizes e o conceito de traço de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Podemos reorganizar os termos para isolar X^t :
(10(A^t)^-1 + X^t) cdot B = (B cdot A^t + B) cdot B
Passo 3
Como a matriz B é invertível, a gente pode multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de B para eliminar B do lado esquerdo:
10(A^t)^-1 + X^t = B cdot A^t + B
Passo 4
Agora, vamos tirar a transposta de ambos os lados da equação. Lembrando que a transposta de uma soma é a soma das transpostas e a transposta de um produto reversa a ordem:
(10(A^t)^-1 + X^t)^t = (B cdot A^t + B)^t
Isso nos dá:
10 A^-1 + X = A cdot B^t + B^t
Passo 5
Agora, queremos isolar X . Para isso, vamos subtrair 10 A^-1 de ambos os lados:
X = A cdot B^t + B^t - 10 A^-1
Passo 6
Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, calculamos A cdot B^t :
A = 2 & 6 2 & 1 , B^t = 4 & 1 7 & 2
Multiplicando:
A cdot B^t = 2 times 4 + 6 times 7 & 2 times 1 + 6 times 2 2 times 4 + 1 times 7 & 2 times 1 + 1 times 2 = 50 & 14 15 & 4