(2.5 pontos) Sejam A=[ll2 & 6 2 & 1] e B=[ll4 & 7 1 & 2] matrizes invertíveis. Determine o traço da matriz X onde: 10(A^t)^-1 cdot B+X^t cdot B=B cdot A^t cdot B+B^2.
Resosta: tr(X)=63.
Solução: 10(A^t)^-1 cdot B+X^t cdot B=B cdot A^t cdot B+B^2
(10(A^t)^-1+X^t) cdot B=(B cdot A^t+B) cdot B
Como B é invertível: 10(A^t)^-1+X^t=B A^t+B.
Aplicando a transposta: (10(A^t)^-1+X^t)^t=(B A^t+B)^t.
(10(A^t)^-1) t+(X^t)^t=(B A^t)^t+B^t.
10 A^-1+X=A cdot B^t+B^t.
X=A cdot B^t+B^t-10 A^-1.
Substituindo os valores de A, B e sabendo que A^-1=-110[cc1 & -6 -2 & 2] tem-se: X=
l [ll 2 & 6 2 & 1 ] cdot[ll 4 & 1 7 & 2 ]+[ll 4 & 1 7 & 2 ]+[cc 1 & -6 -2 & 2 ] X=[ll 50 & 14 15 & 16 ]+[ll 4 & 1 7 & 2 ]+[cc 1 & -6 -2 & 2 ]=[ll 55 & 9 20 & 8 ]
Logo, tr(X)=63

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas matrizes A e B e precisa encontrar o traço da matriz X que satisfaz a equação:
10(A^t)^-1 cdot B + X^t cdot B = B cdot A^t cdot B + B^2
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes inversas, transpostas, multiplicação de matrizes e o conceito de traço de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Podemos reorganizar os termos para isolar X^t :
(10(A^t)^-1 + X^t) cdot B = (B cdot A^t + B) cdot B

Passo 3

Como a matriz B é invertível, a gente pode multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de B para eliminar B do lado esquerdo:
10(A^t)^-1 + X^t = B cdot A^t + B

Passo 4

Agora, vamos tirar a transposta de ambos os lados da equação. Lembrando que a transposta de uma soma é a soma das transpostas e a transposta de um produto reversa a ordem:
(10(A^t)^-1 + X^t)^t = (B cdot A^t + B)^t
Isso nos dá:
10 A^-1 + X = A cdot B^t + B^t

Passo 5

Agora, queremos isolar X . Para isso, vamos subtrair 10 A^-1 de ambos os lados:
X = A cdot B^t + B^t - 10 A^-1

Passo 6

Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, calculamos A cdot B^t :
A = 2 & 6 2 & 1 , B^t = 4 & 1 7 & 2
Multiplicando:
A cdot B^t = 2 times 4 + 6 times 7 & 2 times 1 + 6 times 2 2 times 4 + 1 times 7 & 2 times 1 + 1 times 2 = 50 & 14 15 & 4

Passo 7

Agora, calculamos 10 A^-1 . Dado que A^-1 é:
A^-1 = -110 1 & -6 -2 & 2
Então:
10 A^-1 = -1010 1 & -6 -2 & 2 = - 1 & -6 -2 & 2 = -1 & 6 2 & -2

Passo 8

Agora, substituímos tudo na expressão de X :
X = 50 & 14 15 & 4 + 4 & 1 7 & 2 + -1 & 6 2 & -2 = 53 & 21 24 & 4

Passo 9

Finalmente, para encontrar o traço de X , somamos os elementos da diagonal principal:
tr(X) = 53 + 4 = 57

Resposta

tr(X) = 57

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