1. (2,0 pontos) Use a Regra da Cadeia para determinar \frac{d z}{d r} \mathrm{e} \frac{d z}{d \theta}, sabendo-se que
z=4 x^{3}-3 y^{2}, x=r \cos \theta \text { e } y=r \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • z é uma função de x e y: z = 4 x^{3} - 3 y^{2}.
  • x e y são dadas em coordenadas polares: x = r \cos\theta \quad\text{e}\quad y = r \sin\theta.
O que o problema pede:
  • Calcular \dfrac{d z}{d r}.
  • Calcular \dfrac{d z}{d \theta}.

Passo 2

Vamos utilizar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Se z = z(x,y) e x = x(r,\theta),\, y = y(r,\theta), então as derivadas totais são:
\frac{d z}{d r} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial r},
\frac{d z}{d \theta} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial \theta}.
Explicando de forma simples: \dfrac{\partial z}{\partial x} é a taxa de variação de z quando só x muda (mantendo y fixo) — é chamada derivada parcial; \dfrac{\partial x}{\partial r} é a taxa de variação de x quando r muda (mantendo \theta fixo). A Regra da Cadeia soma as contribuições vindas de como x e y mudam quando variam r ou \theta.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y. Usando a regra do poder (derivada de x^n é n x^{n-1}) e que derivada de constante vezes função é a constante vezes a derivada:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(4x^{3}-3y^{2}\big) = 4\cdot 3 x^{2} - 0 = 12 x^{2}.
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(4x^{3}-3y^{2}\big) = 0 - 3\cdot 2 y = -6 y.
(Expliquei: 4x^3 trata-se como função de x com coeficiente 4; y é tratado como constante ao derivar em relação a x, e vice‑versa.)

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a r e \theta. Como x = r\cos\theta e y = r\sin\theta:
Derivando em relação a r (mantendo \theta fixo):
\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta, \qquad \frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta.
Derivando em relação a \theta (mantendo r fixo) usa-se a regra do produto (derivada de r\cos\theta com r constante):
\frac{\partial x}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}(r\cos\theta) = r\cdot(-\sin\theta) = -r\sin\theta,
\frac{\partial y}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}(r\sin\theta) = r\cdot\cos\theta = r\cos\theta.
(Usei que \dfrac{d}{d\theta}\cos\theta = -\sin\theta e \dfrac{d}{d\theta}\sin\theta = \cos\theta.)

Passo 5

Agora aplicamos a Regra da Cadeia para \dfrac{d z}{d r}. Substituindo \dfrac{\partial z}{\partial x}, \dfrac{\partial z}{\partial y}, \dfrac{\partial x}{\partial r}, \dfrac{\partial y}{\partial r}:
\frac{d z}{d r} = \big(12 x^{2}\big)\big(\cos\theta\big) + \big(-6 y\big)\big(\sin\theta\big).
Podemos deixar a resposta em termos de x,y ou substituir x=r\cos\theta e y=r\sin\theta para expressar em r,\theta. Substituindo:
x^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta,\qquad y = r\sin\theta,
logo
\frac{d z}{d r} = 12\big(r^{2}\cos^{2}\theta\big)\cos\theta - 6\big(r\sin\theta\big)\sin\theta = 12 r^{2}\cos^{3}\theta - 6 r \sin^{2}\theta.

Passo 6

Agora calculamos \dfrac{d z}{d \theta} usando a Regra da Cadeia. Substituindo \dfrac{\partial z}{\partial x}, \dfrac{\partial z}{\partial y}, \dfrac{\partial x}{\partial \theta}, \dfrac{\partial y}{\partial \theta}:
\frac{d z}{d \theta} = \big(12 x^{2}\big)\big(-r\sin\theta\big) + \big(-6 y\big)\big(r\cos\theta\big).
Simplificando:
\frac{d z}{d \theta} = -12 r x^{2}\sin\theta - 6 r y \cos\theta.
Substituindo x^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta e y=r\sin\theta:
\frac{d z}{d \theta} = -12 r\big(r^{2}\cos^{2}\theta\big)\sin\theta - 6 r\big(r\sin\theta\big)\cos\theta = -12 r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta - 6 r^{2}\sin\theta\cos\theta.
Podemos fatorar um termo comum se quiser:
\frac{d z}{d \theta} = -6 r^{2}\sin\theta\cos\theta\big(2 r\cos\theta + 1\big).

Resposta

\frac{d z}{d r}=12 r^{2}\cos^{3}\theta - 6 r \sin^{2}\theta
\frac{d z}{d \theta}=-12 r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta - 6 r^{2}\sin\theta\cos\theta

Exercícios relacionados