- (2,0 pontos) Use a Regra da Cadeia para determinar
, sabendo-se que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é uma função de e : -
e são dadas em coordenadas polares:
O que o problema pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Vamos utilizar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Se
e
, então as derivadas totais são:
Explicando de forma simples:
é a taxa de variação de
quando só
muda (mantendo
fixo) — é chamada derivada parcial;
é a taxa de variação de
quando
muda (mantendo
fixo). A Regra da Cadeia soma as contribuições vindas de como
e
mudam quando variam
ou
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Usando a regra do poder (derivada de
é
) e que derivada de constante vezes função é a constante vezes a derivada:
(Expliquei:
trata-se como função de
com coeficiente
;
é tratado como constante ao derivar em relação a
, e vice‑versa.)
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Como
e
:
Derivando em relação a
(mantendo
fixo):
Derivando em relação a
(mantendo
fixo) usa-se a regra do produto (derivada de
com
constante):
(Usei que
e
.)
Passo 5
Agora aplicamos a Regra da Cadeia para
. Substituindo
,
,
,
:
Podemos deixar a resposta em termos de
ou substituir
e
para expressar em
. Substituindo:
logo
Passo 6
Agora calculamos
usando a Regra da Cadeia. Substituindo
,
,
,
:
Simplificando:
Substituindo
e
:
Podemos fatorar um termo comum se quiser: