(2 pontos) Se T: V W é uma transformação linear injetiva e dim V=dim W, prove que T é sobrejetiva. Dica: Use o Teorema do Núcleo e da Imagem.

Passo 1

Beleza, o exercício é o seguinte: “Se T:Vto W é uma transformação linear injetiva e dim V = dim W, prove que T é sobrejetiva.”
Conteúdo: Transformações lineares, núcleo, imagem e Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão).
O que vamos precisar:
  1. Entender o que é núcleo ( ker T) e imagem ( ImT).
  2. Saber que injetividade ⇔ ker T = 0.
  3. Aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem:
dim(ker T) + dim(ImT) = dim(V)

Passo 2

Como T é injetiva, por definição isso significa que só o vetor zero de V vai para zero em W. Em fórmula:
ker T = vin V : T(v)=0 = 0
Logo
dim(ker T) = 0

Passo 3

Agora uso o Teorema do Núcleo e da Imagem:
dim(ker T) + dim(ImT) = dim(V)
Substituindo dim(ker T)=0, fica
0 + dim(ImT) = dim(V) Longrightarrow dim(ImT) = dim(V)
Mas por hipótese dim(V)=dim(W). Então
dim(ImT) = dim(W)
A imagem de T é um subespaço de W com a mesma dimensão de W. Isso só acontece se ImT = W. E dizer ImT = W é, justamente, que T é sobrejetiva.

Resposta

T é sobrejetiva.

Exercícios relacionados