(2 pontos) Se
é uma transformação linear injetiva e
, prove que
é sobrejetiva. Dica: Use o Teorema do Núcleo e da Imagem.
Passo 1
Beleza, o exercício é o seguinte: “Se
é uma transformação linear injetiva e
, prove que
é sobrejetiva.”
Conteúdo: Transformações lineares, núcleo, imagem e Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão).
O que vamos precisar:
Conteúdo: Transformações lineares, núcleo, imagem e Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão).
O que vamos precisar:
- Entender o que é núcleo (
) e imagem ( ). - Saber que injetividade ⇔
. - Aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Passo 2
Como
é injetiva, por definição isso significa que só o vetor zero de
vai para zero em
. Em fórmula:
Logo
Passo 3
Agora uso o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Substituindo
, fica
Mas por hipótese
. Então
A imagem de
é um subespaço de
com a mesma dimensão de
. Isso só acontece se
. E dizer
é, justamente, que
é sobrejetiva.