( 2,0 pontos) Seja T: R^2 R^3 cuja matriz nas bases canônicas é
[T]=(ll 1 & 0 0 & 1 1 & 1 )
Considere a base do domínio B=b1=(1,1), b2=(1,-1) e a base do contradomínio C=c1= (1, O, O), c2=(0,1,1), c3=(0,0,1). Determine a matriz [T]B, C.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma transformação linear
T:R^2toR^3 cuja matriz na base canônica é
[T]E,E = 1 & 0 0 & 1 1 & 1
O domínio tem uma base B=b1=(1,1),,b2=(1,-1) e o contradomínio tem uma base
C=c1=(1,0,0),,c2=(0,1,1),,c3=(0,0,1).
A gente precisa achar a matriz de T relativa às bases B (domínio) e C (contradomínio), ou seja, [T]B,C.
Para isso, vamos usar dois fatos teóricos básicos:
  1. A matriz de T em bases não-canônicas se obtém aplicando T em cada vetor de B e escrevendo o resultado em coordenadas da base C.
  2. Para achar as coordenadas de um vetor em C, resolvemos combinações lineares usando os vetores de C.

Passo 2

Primeiro, calcula T(b1). Como a matriz canônica de T é
1&00&11&1, basta multiplicar por b1=(1,1):
T(b1) =1&00&11&1 11 =112
Então T(b1)=(1,1,2).

Passo 3

Agora, expressa [(1,1,2)) como combinação de .
Queremos tais que
Isso dá o sistema:
Logo, as coordenadas de são .

Passo 4

Faz o mesmo para [b_2=(1,-1)).
Agora achamos tais que
Isso dá:
Portanto (\bigl[T(b_2)\bigr]_C=(1,-1,1)].

Resposta

A matriz de T de B em C tem como colunas l[T(b1)r]C e l[T(b2)r]C. Logo
[T]B,C = 1 & 1 1 & -1 1 & 1

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