10-Na realização de uma experiência, determinaram-se os seguintes valores da capacidade de calor C a várias temperaturas T , de um metal:
T -50 -20 10 70 100 120
C 0.125 0.128 0.134 0.144 0.150 0.155
Use a técnica dos mínimos quadrados para calcular:
a) um modelo linear que estime C como função de T.
b) um modelo quadrático que faça prever a relação entre C e T .
c) qual dos modelos lhe parece mais adequado? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com pares (T,C) (eu peguei esses dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} T & -50 & -20 & 10 & 70 & 100 & 120\\hline C & 0{,}125 & 0{,}128 & 0{,}134 & 0{,}144 & 0{,}150 & 0{,}155 \end{array}
Pede-se:
a) Encontrar por mínimos quadrados um modelo linear que estime C em função de T.
b) Encontrar por mínimos quadrados um modelo quadrático que estime C em função de T.
c) Dizer qual modelo parece mais adequado e justificar.

Passo 2

Breve aula / ideia dos mínimos quadrados (passo-a-passo, sem pular etapas).
Queremos ajustar um polinômio p\) (linear ou quadrático) que minimize a soma dos quadrados dos resíduos \[S=\sum_{i=1}^n (C_i - p(T_i))^2.
Para o caso linear usamos o modelo
p_{\text{lin}}(T)=a + bT.
As equações normais (obtidas anulando as derivadas parciais de S em relação a a e b) são:
\begin{cases} n a + (\sum T_i)\, b = \sum C_i,\\[6pt] (\sum T_i)\, a + (\sum T_i^2)\, b = \sum T_i C_i. \end{cases}
Resolver esse sistema dá os coeficientes a\] e \[b.
Para o caso quadrático usamos
p_{\text{quad}}(T)=a + bT + cT^2.
As equações normais (três equações) são:
\begin{cases} n a + (\sum T_i)\, b + (\sum T_i^2)\, c = \sum C_i,\\[6pt] (\sum T_i)\, a + (\sum T_i^2)\, b + (\sum T_i^3)\, c = \sum T_i C_i,\\[6pt] (\sum T_i^2)\, a + (\sum T_i^3)\, b + (\sum T_i^4)\, c = \sum T_i^2 C_i. \end{cases}
Resolver esse sistema dá a,b,c\]. Dica prática: para o ajuste quadrático é conveniente “centralizar” \(T em torno da média para reduzir erros numéricos (usar u=T-\bar T); eu vou usar essa técnica — explico e aplico abaixo.]

Passo 3

Calcular somas básicas (usei os dados da tabela):
número de pontos n=6.
\sum T_i = 230,\qquad \sum C_i = 0{,}836.
\sum T_i^2 = 32300,\qquad \sum T_i C_i = 36{,}21.
(esses valores vêm da soma direta dos pares da tabela.)
Médias:
\bar T=\frac{230}{6}=\frac{115}{3}\approx 38{,}333333,\qquad \bar C=\frac{0{,}836}{6}\approx 0{,}1393333.

Passo 4

Ajuste linear: resolver as normais para a e b.
As fórmulas fechadas são
b=\frac{n\sum T_i C_i - (\sum T_i)(\sum C_i)}{n\sum T_i^2 - (\sum T_i)^2}, \qquad a=\frac{\sum C_i - b\sum T_i}{n}.
Substituindo os números:
b=\frac{6\cdot 36{,}21 - 230\cdot 0{,}836}{6\cdot 32300 - 230^2} =\frac{217{,}26 - 192{,}28}{193800 - 52900} =\frac{24{,}98}{140900}\approx 0{,}0001774.
a=\frac{0{,}836 - 0{,}0001774\cdot 230}{6} =\frac{0{,}836 - 0{,}040802}{6} =\frac{0{,}795198}{6}\approx 0{,}132533.
Logo o modelo linear (aproximado) é
\boxed{p_{\text{lin}}(T)\approx 0{,}132533 + 0{,}0001774\,T.}

Passo 5

Verificação rápida dos resíduos do ajuste linear (para avaliar qualidade): calculo as previsões e resíduos r_i=C_i - p_{\text{lin}}(T_i) (usei os T e C da tabela):
  • T=-50:\\ p_{\text{lin}}=0{,}132533-0{,}00887=0{,}123663, r=0{,}125-0{,}123663=0{,}001337.
  • T=-20:\\ p_{\text{lin}}=0{,}132533-0{,}003548=0{,}128985, r=-0{,}000985.
  • T=10:\\ p_{\text{lin}}=0{,}132533+0{,}001774=0{,}134307, r=-0{,}000307.
  • T=70:\\ p_{\text{lin}}=0{,}132533+0{,}012418=0{,}144951, r=-0{,}000951.
  • T=100:\\ p_{\text{lin}}=0{,}132533+0{,}017740=0{,}150273, r=-0{,}000273.
  • T=120:\\ p_{\text{lin}}=0{,}132533+0{,}021288=0{,}153821, r=0{,}001179.
Soma dos quadrados dos resíduos (SSE) para o modelo linear:
\text{SSE}_{\text{lin}}=\sum r_i^2\approx 5{,}22\times 10^{-6}.

Passo 6

Ajuste quadrático: técnica com centralização. Defino u_i=T_i-\bar T\). (Isso usa \(\bar T\) calculado no Passo 3; peguei \(T_i\) da tabela.) Valores \(u_i\) correspondentes: \[u=\{-265/3,\\\ -175/3,\\\ -85/3,\\\ 95/3,\\\ 185/3,\\\ 245/3\}
(usei a forma racional para evitar arredondamentos precoces; numericamente u\approx\{-88{,}3333,\,-58{,}3333,\,-28{,}3333,\;31{,}6667,\;61{,}6667,\;81{,}6667\}.)
Para o modelo centrado y=A + B u + C u^2 as normais ficam mais simples porque \sum u_i =0. As equações são:
\begin{cases} nA + C\sum u_i^2 = \sum C_i,\\[6pt] B\sum u_i^2 + C\sum u_i^3 = \sum u_i C_i,\\[6pt] A\sum u_i^2 + B\sum u_i^3 + C\sum u_i^4 = \sum u_i^2 C_i. \end{cases}
Vou calcular as somas necessárias (todas obtidas a partir dos T_i\] e \(C_i da tabela).]

Passo 7

Cálculo das somas centradas (mostro como calculei; usei os 3T_i-115 para manter números inteiros e depois dividi conforme indicado):
Defini k_i=3T_i-115 (logo u_i=k_i/3). Para cada ponto obtive k\in\{-265,-175,-85,95,185,245\}.
Somas:
\sum u_i^2=\frac{1}{9}\sum k_i^2=\frac{211350}{9}=23483{,}333333.
\sum u_i^3=\frac{1}{27}\sum k_i^3=\frac{-2688000}{27}\approx -99555{,}555556.
\sum u_i^4=\frac{1}{81}\sum k_i^4=\frac{10777443750}{81}\approx 133054861{,}111111.
Agora as somas com C:
\sum u_i C_i=\frac{1}{3}\sum k_i C_i=\frac{12{,}49}{3}=4{,}163333333.
\sum u_i^2 C_i=\frac{1}{9}\sum k_i^2 C_i=\frac{29403{,}5}{9}=3267{,}0555556.
(As quantidades \sum k_i^2, \sum k_i^3, \sum k_i^4, \sum k_i C_i, \sum k_i^2 C_i foram calculadas diretamente a partir dos k_i e dos C_i da tabela; eu mostrei os valores numéricos acima.)

Passo 8

Resolver as normais centradas. Das duas primeiras equações isolamos A e B em função de C:
A=\frac{\sum C_i - C\sum u_i^2}{n}, \qquad B=\frac{\sum u_i C_i - C\sum u_i^3}{\sum u_i^2}.
Substituindo esses em a terceira equação e isolando C obtém-se (fórmula direta):
C=\frac{\sum u_i^2 C_i - \big(\tfrac{\sum u_i^2}{n}\sum C_i + \tfrac{\sum u_i^3}{\sum u_i^2}\sum u_i C_i\big)} {-\dfrac{(\sum u_i^2)^2}{n}-\dfrac{(\sum u_i^3)^2}{\sum u_i^2}+\sum u_i^4 }.
Agora substituo os valores numéricos (mostrando os passos numéricos principais):
Constante do numerador:
\frac{\sum u_i^2}{n}\sum C_i = \frac{23483{,}333333\cdot 0{,}836}{6}\approx 3272{,}011111.
\frac{\sum u_i^3}{\sum u_i^2}\sum u_i C_i \approx \frac{-99555{,}555556}{23483{,}333333}\cdot 4{,}163333333\approx -17{,}65009.
Então o termo entre parênteses é aproximadamente 3272{,}011111-17{,}65009\approx 3254{,}36102.
Numerador:
\sum u_i^2 C_i - (\cdots)\approx 3267{,}0555556 - 3254{,}36102 \approx 12{,}6945356.
Denominador (calculo das partes):
-\frac{(\sum u_i^2)^2}{n}\approx -\frac{(23483{,}333333)^2}{6}\approx -91\,911\,157{,}4074,
-\frac{(\sum u_i^3)^2}{\sum u_i^2}\approx -\frac{( -99\,555{,}5556)^2}{23483{,}3333}\approx -422\,048{,}98,
\sum u_i^4\approx 133\,054\,861{,}1111.
Somando:
\text{denominador}\approx -91\,911\,157{,}4074 -422\,048{,}98 +133\,054\,861{,}1111 \approx 40\,721\,654{,}7237.
Assim
C\approx \frac{12{,}6945356}{40\,721\,654{,}7237}\approx 3{,}118\times 10^{-7}.

Passo 9

Agora obtenho B e A (os coeficientes do modelo centrado) e converto para o polinômio em T.
Primeiro B:
B=\frac{\sum u_i C_i - C\sum u_i^3}{\sum u_i^2} =\frac{4{,}163333333 - (3{,}118\times 10^{-7})(-99\,555{,}5556)}{23483{,}3333} \approx \frac{4{,}163333333 +0{,}03105}{23483{,}3333}\approx 0{,}00017859.
A:
A=\frac{\sum C_i - C\sum u_i^2}{n} =\frac{0{,}836 - (3{,}118\times 10^{-7})\cdot 23483{,}3333}{6} \approx \frac{0{,}836 - 0{,}007322}{6}\approx 0{,}138113.
Converter para a forma em T. Como u=T-\bar T, expandindo
y=A + B u + C u^2 = C T^2 + (B - 2C\bar T)T + \big(A - B\bar T + C\bar T^2\big).
Portanto os coeficientes em T são
c=C\approx 3{,}118\times 10^{-7},
b=B - 2C\bar T\approx 0{,}00017859 - 2\cdot(3{,}118\times 10^{-7})\cdot 38{,}333333\approx 0{,}00015469,
a=A - B\bar T + C\bar T^2\approx 0{,}138113 - 0{,}00017859\cdot 38{,}333333 + 3{,}118\times 10^{-7}\cdot (38{,}333333)^2\approx 0{,}131725.
Logo o modelo quadrático (aproximado) é
\boxed{p_{\text{quad}}(T)\approx 0{,}131725 + 0{,}00015469\,T + 3{,}118\times 10^{-7}\,T^2.}

Passo 10

Calculo rápido dos resíduos e SSE do modelo quadrático (usei os T da tabela):
Previsões e resíduos (valores aproximados):
  • T=-50:\\ p_{\text{quad}}\approx 0{,}124770,\\ r\approx 0{,}000230.
  • T=-20:\\ p_{\text{quad}}\approx 0{,}128756,\\ r\approx -0{,}000756.
  • T=10:\\ p_{\text{quad}}\approx 0{,}133303,\\ r\approx 0{,}000697.
  • T=70:\\ p_{\text{quad}}\approx 0{,}144082,\\ r\approx -0{,}000082.
  • T=100:\\ p_{\text{quad}}\approx 0{,}150312,\\ r\approx -0{,}000312.
  • T=120:\\ p_{\text{quad}}\approx 0{,}154778,\\ r\approx 0{,}000222.
Soma dos quadrados dos resíduos:
\text{SSE}_{\text{quad}}\approx 1{,}26\times 10^{-6}.

Passo 11

Comparação e escolha do modelo:
  • O modelo quadrático tem \text{SSE}_{\text{quad}}\approx 1{,}26\times 10^{-6}.
  • O modelo linear tem \text{SSE}_{\text{lin}}\approx 5{,}22\times 10^{-6}.
    A SSE do quadrático é significativamente menor (cerca de 4 vezes menor), portanto o ajuste quadrático descreve melhor os dados observados. Além disso, o coeficiente quadrático c é pequeno ( \approx 3{,}1\times 10^{-7}) — isso quer dizer que a curvatura é fraca, mas suficiente para reduzir os resíduos de forma notável; visualmente e numericamente o quadrático corrige pequenas discrepâncias nas extremidades. Concluo que o modelo quadrático é mais adequado aos dados fornecidos (justifiquei pela SSE e pelo fato do termo quadrático reduzir sistematicamente os resíduos).

Resposta

(a) p_{\text{lin}}(T)\approx 0{,}132533 + 0{,}0001774\,T.
(b) p_{\text{quad}}(T)\approx 0{,}131725 + 0{,}00015469\,T + 3{,}118\times 10^{-7}\,T^2.
(c) O modelo quadrático é mais adequado: \text{SSE}_{\text{quad}}\approx 1{,}26\times 10^{-6} contra \text{SSE}_{\text{lin}}\approx 5{,}22\times 10^{-6}, logo o quadrático reduz bem os resíduos (mesmo com c pequeno).

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