10-Na realização de uma experiência, determinaram-se os seguintes valores da capacidade de calor C a várias temperaturas T , de um metal:
T
-50
-20
10
70
100
120
C
0.125
0.128
0.134
0.144
0.150
0.155
Use a técnica dos mínimos quadrados para calcular:
a) um modelo linear que estime C como função de T.
b) um modelo quadrático que faça prever a relação entre C e T .
c) qual dos modelos lhe parece mais adequado? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com pares (T,C) (eu peguei esses dados da tabela do enunciado):
Pede-se:
a) Encontrar por mínimos quadrados um modelo linear que estime C em função de T.
b) Encontrar por mínimos quadrados um modelo quadrático que estime C em função de T.
c) Dizer qual modelo parece mais adequado e justificar.
Passo 2
Breve aula / ideia dos mínimos quadrados (passo-a-passo, sem pular etapas).
Queremos ajustar um polinômio p\) (linear ou quadrático) que minimize a soma dos quadrados dos resíduos
\[S=\sum_{i=1}^n (C_i - p(T_i))^2.
Para o caso linear usamos o modelo
p_{\text{lin}}(T)=a + bT.
As equações normais (obtidas anulando as derivadas parciais de S em relação a a e b) são:
\begin{cases} n a + (\sum T_i)\, b = \sum C_i,\\[6pt] (\sum T_i)\, a + (\sum T_i^2)\, b = \sum T_i C_i. \end{cases}
Resolver esse sistema dá os coeficientes a\] e \[b.
Para o caso quadrático usamos
p_{\text{quad}}(T)=a + bT + cT^2.
As equações normais (três equações) são:
\begin{cases} n a + (\sum T_i)\, b + (\sum T_i^2)\, c = \sum C_i,\\[6pt] (\sum T_i)\, a + (\sum T_i^2)\, b + (\sum T_i^3)\, c = \sum T_i C_i,\\[6pt] (\sum T_i^2)\, a + (\sum T_i^3)\, b + (\sum T_i^4)\, c = \sum T_i^2 C_i. \end{cases}
Resolver esse sistema dá a,b,c\].
Dica prática: para o ajuste quadrático é conveniente “centralizar” \(T em torno da média para reduzir erros numéricos (usar u=T-\bar T); eu vou usar essa técnica — explico e aplico abaixo.]
Passo 3
Calcular somas básicas (usei os dados da tabela):
número de pontos n=6.
\sum T_i = 230,\qquad \sum C_i = 0{,}836.
\sum T_i^2 = 32300,\qquad \sum T_i C_i = 36{,}21.
(esses valores vêm da soma direta dos pares da tabela.)
Verificação rápida dos resíduos do ajuste linear (para avaliar qualidade): calculo as previsões e resíduos r_i=C_i - p_{\text{lin}}(T_i) (usei os T e C da tabela):
Ajuste quadrático: técnica com centralização. Defino u_i=T_i-\bar T\). (Isso usa \(\bar T\) calculado no Passo 3; peguei \(T_i\) da tabela.)
Valores \(u_i\) correspondentes:
\[u=\{-265/3,\\\ -175/3,\\\ -85/3,\\\ 95/3,\\\ 185/3,\\\ 245/3\}
(usei a forma racional para evitar arredondamentos precoces; numericamente u\approx\{-88{,}3333,\,-58{,}3333,\,-28{,}3333,\;31{,}6667,\;61{,}6667,\;81{,}6667\}.)
Para o modelo centrado y=A + B u + C u^2 as normais ficam mais simples porque \sum u_i =0. As equações são:
(As quantidades \sum k_i^2, \sum k_i^3, \sum k_i^4, \sum k_i C_i, \sum k_i^2 C_i foram calculadas diretamente a partir dos k_i e dos C_i da tabela; eu mostrei os valores numéricos acima.)
Passo 8
Resolver as normais centradas. Das duas primeiras equações isolamos A e B em função de C:
O modelo quadrático tem \text{SSE}_{\text{quad}}\approx 1{,}26\times 10^{-6}.
O modelo linear tem \text{SSE}_{\text{lin}}\approx 5{,}22\times 10^{-6}.
A SSE do quadrático é significativamente menor (cerca de 4 vezes menor), portanto o ajuste quadrático descreve melhor os dados observados. Além disso, o coeficiente quadrático c é pequeno (\approx 3{,}1\times 10^{-7}) — isso quer dizer que a curvatura é fraca, mas suficiente para reduzir os resíduos de forma notável; visualmente e numericamente o quadrático corrige pequenas discrepâncias nas extremidades. Concluo que o modelo quadrático é mais adequado aos dados fornecidos (justifiquei pela SSE e pelo fato do termo quadrático reduzir sistematicamente os resíduos).
Resposta
(a) p_{\text{lin}}(T)\approx 0{,}132533 + 0{,}0001774\,T.
(b) p_{\text{quad}}(T)\approx 0{,}131725 + 0{,}00015469\,T + 3{,}118\times 10^{-7}\,T^2.
(c) O modelo quadrático é mais adequado: \text{SSE}_{\text{quad}}\approx 1{,}26\times 10^{-6} contra \text{SSE}_{\text{lin}}\approx 5{,}22\times 10^{-6}, logo o quadrático reduz bem os resíduos (mesmo com c pequeno).