pontos) Consideremos os vetores e .
(a) Determine .
(b) Existe vetor , tal que é uma base de ? Justifique!
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em ,
e pede (a) a descrição de e (b) se existe um terceiro vetor que complemente a uma base de . Vamos usar os conceitos de combinação linear, dimensão e completamento de base.
Passo 2
Para achar , tomamos combinações lineares
com . Logo
Passo 3
Para ver como um plano, note que e implicam
Em forma implícita,
Passo 4
Os vetores e não são múltiplos um do outro (pois tem terceira componente zero e tem terceira componente não nula), logo são linearmente independentes e . Como tem dimensão 3, podemos acrescentar um vetor para completar uma base. Por exemplo,
Esse não pertence ao plano , pois em teríamos . Logo é um conjunto de três vetores LI em e, portanto, uma base.
Resposta
(a)
(b) Sim. Como , basta escolher , por exemplo .