(2,0 pontos) Consideremos os vetores u=(lll1 & 2 & 0)^T e v=(lll0 & 5 & 1)^T em R^3.
(a) Determine spanu, v.
(b) Existe vetor w in R^3, tal que u, v, w é uma base de R^3 ? Justifique!

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em ,
e pede (a) a descrição de e (b) se existe um terceiro vetor que complemente a uma base de . Vamos usar os conceitos de combinação linear, dimensão e completamento de base.

Passo 2

Para achar , tomamos combinações lineares
com . Logo

Passo 3

Para ver como um plano, note que e implicam
Em forma implícita,

Passo 4

Os vetores e não são múltiplos um do outro (pois tem terceira componente zero e tem terceira componente não nula), logo são linearmente independentes e . Como tem dimensão 3, podemos acrescentar um vetor para completar uma base. Por exemplo,
Esse não pertence ao plano , pois em teríamos . Logo é um conjunto de três vetores LI em e, portanto, uma base.

Resposta

(a)
(b) Sim. Como , basta escolher , por exemplo .

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