Represente geometricamente o campo vetorial dado.
eta(x, y)=(xraizx^2+y^2, yraizx^2+y^2).

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente o campo vetorial
veceta(x,y)=gl(xraizx^2+y^2,,yraizx^2+y^2gr)
ou seja, desenhar em cada ponto (x,y)neq(0,0) um vetor que indique a direção e o módulo de veceta. O conteúdo aqui é compreensão de campos vetoriais no plano, em particular campos expressos em coordenadas cartesianas e sua interpretação geométrica.

Passo 2

Mostramos primeiro que o campo tem módulo unitário em todo ponto exceto a origem. De fato,
|veceta(x,y)| =raizl(xraizx^2+y^2r)^2+l(yraizx^2+y^2r)^2 =raizx^2+y^2raizx^2+y^2=1
Para identificar a direção, escrevemos em coordenadas polares x=rcosphi, y=rsinphi. Então
veceta(rcosphi,rsinphi) =l(rcosphir,,rsinphirr) =(cosphi,sinphi),
que é justamente o vetor radial unitário er em direção ao ângulo phi.

Passo 3

O campo está definido para todo (x,y)neq(0,0). Na origem r=0 a expressão não faz sentido (divisão por zero), então não desenhamos vetor em (0,0).
Geometricamente, em cada ponto do plano (fora da origem) desenhamos um vetor de comprimento 1 apontando diretamente para fora do centro. As linhas de campo são as retas que partem da origem (“raios”), e em cada ponto sobre um mesmo raio o vetor é paralelo ao raio e tem sempre módulo 1.

Resposta

O campo é o campo radial unitário: em cada ponto (x,y)neq(0,0) a seta tem comprimento 1 e aponta na direção do vetor posição, isto é, radiante para fora da origem.

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