(4 pontos) Resolva, utilizando variação de parâmetros, o seguinte sistema
X^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}2 & 8 \\\\ 0 & 4\end{array}\right) X+\binom{2}{e^{2 t}}, \operatorname{com} X\binom{0}{0}=\binom{1}{0}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não homogêneo por variação de parâmetros:
X' = A\,X + g(t), \quad A = \begin{pmatrix}2 & 8\\\ 0 & 4\end{pmatrix}, \quad g(t)=\begin{pmatrix}2\e^{2t}\end{pmatrix},
com condição inicial X(0)=\bigl(1,0\bigr)^T.
Vamos precisar encontrar a matriz fundamental da homogênea X'=A\,X e depois usar a fórmula de variação de parâmetros X(t)=\Phi(t)\,u(t).

Passo 2

Resolvendo X'=A\,X: como A é triangular, da segunda equação vem imediatamente x_2'=4x_2\Rightarrow x_2=C_2e^{4t}. Para a primeira usamos autovalores \lambda_1=2, \lambda_2=4 e vetores próprios
v_1=(1,0)^T,\quad v_2=(4,1)^T.
As soluções fundamentais são
X^{(1)}(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad X^{(2)}(t)=e^{4t}\begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix},
logo a matriz fundamental é
\Phi(t)=\begin{pmatrix}e^{2t}&4e^{4t}\\\ 0&e^{4t}\end{pmatrix}.

Passo 3

Pela variação de parâmetros, escrevemos X(t)=\Phi(t)\,u(t) e usamos
u'(t)=\Phi(t)^{-1}\,g(t).
Calculamos \det\Phi=e^{2t}e^{4t}=e^{6t} e
\Phi(t)^{-1} =\frac1{e^{6t}}\begin{pmatrix}e^{4t}&-4e^{4t}\\\ 0&e^{2t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}e^{-2t}&-4e^{-2t}\\\ 0&e^{-4t}\end{pmatrix}.
Assim
u'(t) =\begin{pmatrix}e^{-2t}&-4e^{-2t}\\\ 0&e^{-4t}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\e^{2t}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2e^{-2t}-4\e^{-2t}\end{pmatrix}.

Passo 4

Integramos cada componente de u':
u_1'(t)=2e^{-2t}-4 \quad\Longrightarrow\quad u_1(t)=-e^{-2t}-4t+C_1,
u_2'(t)=e^{-2t} \quad\Longrightarrow\quad u_2(t)=-\tfrac12e^{-2t}+C_2.

Passo 5

A solução geral é
X(t)=\Phi(t)\,u(t) =\begin{pmatrix}e^{2t}&4e^{4t}\\\ 0&e^{4t}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-e^{-2t}-4t+C_1\\\ -\tfrac12e^{-2t}+C_2\end{pmatrix}.
Desdobrando,
x_1(t) =e^{2t}(-e^{-2t}-4t+C_1)+4e^{4t}(-\tfrac12e^{-2t}+C_2) =-3-4t\,e^{2t}+C_1e^{2t}+4C_2e^{4t},
x_2(t) =e^{4t}\Bigl(-\tfrac12e^{-2t}+C_2\Bigr) =-\tfrac12e^{2t}+C_2e^{4t}.
Agora ajustamos C_1,C_2 usando X(0)=(1,0)^T:
x_2(0)=C_2-\tfrac12=0\\ \Rightarrow\\ C_2=\tfrac12, \quad x_1(0)=C_1+4C_2-3=1\\ \Rightarrow\\ C_1=2.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
X(t)=\begin{pmatrix} x_1(t)\x_2(t) \end{pmatrix},
onde
x_1(t) =2e^{4t}+(2-4t)e^{2t}-3, \qquad x_2(t) =\tfrac12\bigl(e^{4t}-e^{2t}\bigr).

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