(3 pontos) Resolva \left\{\begin{array}{c}\frac{d x}{d t}=x+3 y \\\ \frac{d y}{d t}=y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem
\begin{cases} \displaystyle \frac{dx}{dt} = x + 3\,y,\\[6pt] \displaystyle \frac{dy}{dt} = y. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear por desacoplamento e fator integrante.]

Passo 2

Começamos pela segunda equação, que está desacoplada:
\frac{dy}{dt} = y.
Esta é uma equação diferencial separável cuja solução geral é
y(t) = C_2\,e^{t},
onde C_2 é constante arbitrária.

Passo 3

Agora substituímos y(t)=C_2e^t na primeira equação
\frac{dx}{dt} = x + 3\,C_2\,e^t,
que podemos reescrever como
\frac{dx}{dt} - x = 3\,C_2\,e^t.
Usamos o fator integrante \mu(t)=e^{-t}. Multiplicando ambos os lados por e^{-t} obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(x\,e^{-t}\bigr) = 3\,C_2.
Integrando em t
x\,e^{-t} = 3\,C_2\,t + C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 4

Isolando x(t) encontramos
x(t) = e^{t}\bigl(3\,C_2\,t + C_1\bigr).
Portanto, a solução geral do sistema é
y(t) = C_2\,e^{t}, \quad x(t) = C_1\,e^{t} + 3\,C_2\,t\,e^{t},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

\boxed{x(t) = C_1\,e^{t} + 3\,C_2\,t\,e^{t},\quad y(t) = C_2\,e^{t},}
onde C_1 e C_2 são constantes de integração.

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