2,5 Questão 3 - Valor 3,0 pontos
Calcule integralC F d r, onde F(x, y)=(y^2+3) i+(2 x y-3 y^2) j e C é a curva parametrizada por r(t)=(t+cos (pi t2)) i+(t+sen(pi t2)) j, 0 <= t <= 1.
(Sugestão:Verifique se F é conservativo.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralCFcdot d r,
onde
F(x,y)=(y^2+3),i+(2xy-3y^2),j
e C é dada por
r(t)=l(t+cosl(tfracpi t2r),;t+sinl(tfracpi t2r)r), 0<= t<=1
O tema aqui é reconhecer um campo conservativo e usar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Para ver se F é conservativo, escrevemos P(x,y)=y^2+3 e Q(x,y)=2xy-3y^2. Calculamos
partial Ppartial y=2y, partial Qpartial x=2y
Como partialyP=partialxQ num domínio convexo (todo R^2), F é de fato conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função potencial f(x,y) tal que
partial fpartial x=P=y^2+3
Integrando em x
f(x,y)=x,(y^2+3)+g(y)
Para achar g(y), exigimos
partial fpartial y=2xy+g'(y)=Q=2xy-3y^2
logo
g'(y)=-3y^2 Longrightarrow g(y)=-y^3
Portanto, podemos escolher
f(x,y)=x,(y^2+3)-y^3

Passo 4

Pela parametrização, os pontos inicial e final são
r(0)=(0+cos0,;0+sin0)=(1,0), r(1)=(1+costfracpi2,;1+sintfracpi2)=(1,2)
Avaliamos o potencial nesses pontos:
f(1,2)=1cdot(2^2+3)-2^3=7-8=-1,
f(1,0)=1cdot(0^2+3)-0=3

Passo 5

Pelo teorema fundamental das integrais de linha,
integralCFcdot d r =fl(r(1)r)-fl(r(0)r) =-1-3=-4

Resposta

-4

Exercícios relacionados