Sendo y=y(x), resolva :
(1.0 pontos) Resolva:
2 x^{3} y^{\prime}-3 x^{2} y=y^{3} ; \quad y(2)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2x^{3}y' - 3x^{2}y = y^{3},\quad y(2) = -1,
onde y=y(x). Essa é uma equação de Bernoulli do tipo
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
com n=3. Vamos dividir tudo por 2x^{3} e aplicar a transformação padrão para Bernoulli.

Passo 2

Dividindo por 2x^{3}, obtemos
y' - \frac{3}{2x}\,y = \frac{1}{2\,x^{3}}\,y^{3}.
Aqui P(x)=-\tfrac{3}{2x}, Q(x)=\tfrac1{2x^{3}} e n=3.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = y^{\,1-n} = y^{-2}.
Então
\frac{du}{dx} = -2\,y^{-3}\,\frac{dy}{dx}.
Substituindo y' da equação original,
\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2x}\,y + \frac{1}{2x^{3}}\,y^{3},
temos
\frac{du}{dx} = -2\,y^{-3}\Bigl(\frac{3}{2x}\,y + \frac{1}{2x^{3}}\,y^{3}\Bigr) = -\frac{3}{x}\,y^{-2} \;-\;\frac{1}{x^{3}} = -\frac{3}{x}\,u \;-\;\frac{1}{x^{3}}.
Isso gera a equação linear
\frac{du}{dx} + \frac{3}{x}\,u = -\frac{1}{x^{3}}.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{3}{x}\,dx\Bigr) = x^{3}.
Multiplicando a equação por x^{3}:
x^{3}\frac{du}{dx} + 3x^{2}u = -1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}u\bigr) = -1.
Integrando em x:
x^{3}u = -x + C \;\Longrightarrow\; u = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}.

Passo 5

Voltando a y, lembramos que u=y^{-2}, logo
y^{-2} = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{3}} = \frac{-x + C}{x^{3}} \;\Longrightarrow\; y^{2} = \frac{x^{3}}{C - x}.
Portanto
y(x) = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{C - x}}.

Passo 6

Usamos a condição y(2)=-1. Como y^{2}(2)=1, obtemos
1 = \frac{2^{3}}{C - 2} \;\Longrightarrow\; C - 2 = 8 \;\Longrightarrow\; C = 10.
Além disso, para que y(2)=-1 escolhemos o sinal negativo.

Resposta

y(x) = -\,\sqrt{\frac{x^{3}}{10 - x}}\,.

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