Questão 16. Encontre o ponto no plano
que está mais próximos da origem.
Questão 17 (Mínimo condicionado). Encontre os pontos na curva
mais próximos à origem.
Questão 17 (Mínimo condicionado). Encontre os pontos na curva
Passo 1
Na Questão 16 temos o plano
e queremos o ponto desse plano que minimiza a distância até a origem. O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a função distância ao quadrado
e a restrição
O método de Lagrange impõe
ou seja
Isso gera o sistema
Logo
Passo 3
Substituímos esses valores na restrição
:
Então
Passo 4
Na Questão 17 queremos os pontos da curva
que minimizam a distância até a origem. De novo, usaremos multiplicadores de Lagrange em duas variáveis.
Passo 5
Definimos
O sistema de Lagrange é
Isso dá
Da segunda equação, se
, divide-se por
e obtém-se
Substituindo em
resulta
Finalmente, na restrição
temos
Então
Resposta
Questão 16:
.
Questão 17: e
.
Questão 17: