Questão 16. Encontre o ponto no plano 3 x+2 y+z=6 que está mais próximos da origem.
Questão 17 (Mínimo condicionado). Encontre os pontos na curva x y^2=54 mais próximos à origem.

Passo 1

Na Questão 16 temos o plano
3x + 2y + z = 6
e queremos o ponto desse plano que minimiza a distância até a origem. O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função distância ao quadrado
f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2
e a restrição
g(x,y,z) = 3x + 2y + z - 6 = 0
O método de Lagrange impõe
nabla f = lambda ,nabla g
ou seja
(2x,,2y,,2z) = lambda,(3,,2,,1)
Isso gera o sistema
2x = 3lambda, 2y = 2lambda, 2z = lambda
Logo
x = 3lambda2, y = lambda, z = lambda2

Passo 3

Substituímos esses valores na restrição 3x+2y+z=6:
3l(3lambda2r) + 2(lambda) + lambda2 = 6
9lambda2 + 2lambda + lambda2 = 6 Longrightarrow 7lambda = 6 Longrightarrow lambda = 67
Então
x = 32cdot67 = 914, y = 67, z = 12cdot67 = 37

Passo 4

Na Questão 17 queremos os pontos da curva
x,y^2 = 54
que minimizam a distância até a origem. De novo, usaremos multiplicadores de Lagrange em duas variáveis.

Passo 5

Definimos
f(x,y) = x^2 + y^2, h(x,y) = x,y^2 - 54 = 0
O sistema de Lagrange é
nabla f = mu,nabla h ;Longrightarrow; (2x,,2y) = mu,(y^2,,2xy)
Isso dá
2x = mu,y^2, 2y = 2mu,x,y
Da segunda equação, se yneq0, divide-se por 2y e obtém-se
1 = mu,x Longrightarrow mu = 1x
Substituindo em 2x = mu,y^2 resulta
2x = y^2x Longrightarrow y^2 = 2x^2
Finalmente, na restrição x,y^2 = 54 temos
x,(2x^2) = 54 Longrightarrow 2x^3 = 54 Longrightarrow x^3 = 27 Longrightarrow x = 3
Então
y^2 = 2cdot 3^2 = 18 Longrightarrow y = pm 3raiz2

Resposta

Questão 16: l(tfrac914,,tfrac67,,tfrac37r).
Questão 17: l(3,,3raiz2r) e l(3,,-3raiz2r).

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