1. (2,0 pontos) Dada a hipérbole 9 x^2-4 y^2-54 x+45=0,
    (a) Determine a equação reduzida, o centro e os vértices da hipérbole.
    (b) Determine os focos e a excentricidade.
    © Determine as equações das assíntotas e esboce seu gráfico.

Passo 1

Nesse exercício, temos a hipérbole 9x^2 - 4y^2 - 54x + 45 = 0. A matéria é geometria analítica (hipérbole) e vamos usar completar quadrados e definições de a, b, c, focos e assíntotas.

Passo 2

Começo completando o quadrado em x: 9(x^2 -6x) - 4y^2 +45 =0. Acrescentando e subtraindo 9 dentro de parênteses: 9[(x-3)^2 -9] -4y^2 +45 =0.
Distribuindo e reorganizando: 9(x-3)^2 -81 -4y^2 +45 =0 leva a
9(x-3)^2 -4y^2 = 36.

Passo 3

Divido ambos os lados por 36 para obter a forma reduzida da hipérbole:
(x-3)^24 - y^29 = 1
Assim, o centro é (3,0), a^2 =4, b^2 =9. Os vértices ficam em (3pm a,0), ou seja (5,0) e (1,0).

Passo 4

Para encontrar os focos e a excentricidade, uso c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 9 =13, então c = raiz13 e e = c/a = raiz13/2. Os focos são (3pm raiz13,0).

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole com centro (3,0) e eixos nos eixos coordenados são y = pm ba(x-3), isto é y = pm tfrac32(x-3). Expandindo, y = tfrac32x - tfrac92 e y = -tfrac32x + tfrac92.

Passo 6

O gráfico da hipérbole tem centro em (3,0), abertura horizontal, ramos passando pelos vértices (1,0) e (5,0), focos em (3pm raiz13,0) e aproximando-se das retas assíntotas conforme xtopminfty.

Resposta

(a) Equação reduzida (x-3)^24 - y^29 = 1, centro (3,0), vértices (5,0) e (1,0).
(b) Focos (3pm raiz13,0), excentricidade e = raiz132.
© Assíntotas y = 32(x-3) e y = -32(x-3) (ou, expandido, y = 32x - 92 e y = -32x + 92); gráfico com ramos horizontais aproximando-se dessas retas.

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