(9 pontos) Um dado honesto é lançado 7 vezes.
(a) (3 pontos) Qual é a probabilidade de que o número 3 saia pelo menos uma vez?
(b) ( 6 pontos) Qual é a probabilidade de que cada um dos números 1,2 e 3 saiam pelo menos uma vez?

Passo 1

O enunciado trata de 7 lançamentos independentes de um dado honesto.
Conteúdo: probabilidade em espaço finito com técnicas de
– complemento (para “pelo menos uma vez”)
– princípio da inclusão–exclusão (para aparecimento de vários resultados)

Passo 2

Para (a), seja A o evento “sair pelo menos um 3”. Seu complementar é
A^c = \{\text{nenhum }3\},
e em cada lançamento a probabilidade de não sair 3 é \tfrac{5}{6}. Pela independência,
P(A^c) = \Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{7}.

Passo 3

Logo
P(\text{pelo menos um }3) = P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - \Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{7}.

Passo 4

Para (b), queremos que 1,2 e 3 apareçam cada um pelo menos uma vez. Definimos para i=1,2,3 o evento
B_i = \{\text{não aparece o número }i\}.ãú
Então o evento desejado é \bigcap_{i=1}^3 B_i^c. Pelo princípio da inclusão–exclusão, o número de sequências favoráveis é
|\Omega| - \sum_{i=1}^3 |B_i| + \sum_{1\le i<j\le3}|B_i\cap B_j| - |B_1\cap B_2\cap B_3|.

Passo 5

Calculamos cada termo (espaço amostral total |\Omega|=6^7)
|B_i| = 5^7, \quad |B_i\cap B_j| = 4^7, \quad |B_1\cap B_2\cap B_3| = 3^7.
Logo o número de sequências que contêm 1,2,3 pelo menos uma vez é
6^7 \;-\; 3\cdot5^7 \;+\;3\cdot4^7 \;-\;3^7,
e a probabilidade correspondente é
\frac{6^7 \;-\; 3\cdot5^7 \;+\;3\cdot4^7 \;-\;3^7}{6^7}.

Resposta

(a) 1 - \bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^{7}.
(b) \displaystyle\frac{6^7 - 3\cdot5^7 +3\cdot4^7 -3^7}{6^7}.

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