(9 pontos) Uma moeda que dá cara com probabilidade 0.6 é lançada 5 vezes.
(a) (4 pontos) Qual é a probabilidade de que a moeda dê exatamente 3 caras?
(b) ( 5 pontos) Qual é a probabilidade de que a moeda dê no máximo 3 caras?

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de Bernoulli repetido n=5 vezes, com probabilidade de “cara” p=0,6 em cada lançamento. Seja X o número de caras em 5 lançamentos. O conteúdo necessário é a distribuição binomial, cuja probabilidade de exatamente k sucessos (caras) é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k}.

Passo 2

Para k=3, aplicamos a fórmula
P(X=3)=\binom{5}{3}\,(0,6)^3\,(0,4)^2.
Calculando o coeficiente binomial,
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\,2!}=10,
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P(X=3)=10\cdot(0,6)^3\cdot(0,4)^2 =10\cdot0,216\cdot0,16 =0,3456.

Passo 3

Para achar a probabilidade de “no máximo 3 caras”, usamos
P(X\le3)=\sum_{k=0}^{3}P(X=k) =\sum_{k=0}^{3}\binom{5}{k}(0,6)^k(0,4)^{5-k}.

Passo 4

Calculamos termo a termo:
P(X=0)=\binom{5}{0}(0,6)^0(0,4)^5=1\cdot1\cdot0,4^5=0,01024,
P(X=1)=\binom{5}{1}(0,6)^1(0,4)^4=5\cdot0,6\cdot0,4^4=0,0768,
P(X=2)=\binom{5}{2}(0,6)^2(0,4)^3=10\cdot0,36\cdot0,4^3=0,2304,
P(X=3)=0,3456 \quad(\text{já calculado}).á
Somando,
P(X\le3)=0,01024+0,0768+0,2304+0,3456=0,66304.

Resposta

(a) P(X=3)=0,3456
(b) P(X\le3)=0,66304

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