(9 pontos) A urna I contém 3 bolas azuis e 5 bolas vermelhas, enquanto a urna II contém 2 bolas azuis e 3 bolas vermelhas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna I e colocada na urna II, e então duas bolas são selecionadas aleatoriamente da urna II.
(a) (4 pontos) Qual é a probabilidade de que as bolas selecionadas da urna II sejam vermelhas?
(b) ( 5 pontos) Qual é a probabilidade de que a bola trasferida seja vermelha dado que duas bolas vermelhas tenham sido selecionadas da urna II?

Passo 1

O enunciado trata de transferir uma bola da urna I para a urna II e depois retirar duas bolas da urna II. O que precisamos usar aqui é a lei da probabilidade total para a parte (a) e o teorema de Bayes para a parte (b).

Passo 2

Vamos definir o evento de transferência: seja T=R a hipótese de a bola transferida ser vermelha e T=B a hipótese de ela ser azul.
A urna I tem 5 vermelhas e 3 azuis, logo
P(T=R)=\frac{5}{8}, \qquad P(T=B)=\frac{3}{8}.

Passo 3

Agora, dado cada hipótese de transferência, calculamos a probabilidade de retirar duas vermelhas da urna II:
  • Se T=R, a urna II passa a ter 3 azuis e 4 vermelhas (total 7 bolas), mas antes de retirar já havia 2 azuis e 3 vermelhas, então depois da transferência há 2+0 azuis e 3+1 vermelhas, ou seja, 2 azuis e 4 vermelhas, total 6 bolas. A probabilidade de duas vermelhas é
P(\text{2V}\mid T=R) =\frac{\binom{4}{2}}{\binom{6}{2}} =\frac{6}{15} =\frac{2}{5}.
  • Se T=B, a urna II passa a ter 3 azuis e 3 vermelhas. A probabilidade de duas vermelhas é
P(\text{2V}\mid T=B) =\frac{\binom{3}{2}}{\binom{6}{2}} =\frac{3}{15} =\frac{1}{5}.

Passo 4

Pela lei da probabilidade total, a probabilidade de tirar duas vermelhas da urna II é
P(\text{2V}) = P(T=R)\,P(\text{2V}\mid T=R) +P(T=B)\,P(\text{2V}\mid T=B) =\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{5}+\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{5} =\frac{10}{40}+\frac{3}{40} =\frac{13}{40}.

Passo 5

Para a parte (b), queremos
P(T=R\mid \text{2V}) =\frac{P(T=R)\,P(\text{2V}\mid T=R)}{P(\text{2V})} =\frac{\displaystyle \frac{5}{8}\cdot\frac{2}{5}}{\displaystyle \frac{13}{40}} =\frac{\frac{10}{40}}{\frac{13}{40}} =\frac{10}{13}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{13}{40}.
(b) \displaystyle \frac{10}{13}.

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