(9 pontos) A urna I contém 3 bolas azuis e 5 bolas vermelhas, enquanto a urna II contém 2 bolas azuis e 3 bolas vermelhas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna I e colocada na urna II, e então duas bolas são selecionadas aleatoriamente da urna II.
(a) (4 pontos) Qual é a probabilidade de que as bolas selecionadas da urna II sejam vermelhas?
(b) ( 5 pontos) Qual é a probabilidade de que a bola trasferida seja vermelha dado que duas bolas vermelhas tenham sido selecionadas da urna II?
(a) (4 pontos) Qual é a probabilidade de que as bolas selecionadas da urna II sejam vermelhas?
(b) ( 5 pontos) Qual é a probabilidade de que a bola trasferida seja vermelha dado que duas bolas vermelhas tenham sido selecionadas da urna II?
Passo 1
O enunciado trata de transferir uma bola da urna I para a urna II e depois retirar duas bolas da urna II. O que precisamos usar aqui é a lei da probabilidade total para a parte (a) e o teorema de Bayes para a parte (b).
Passo 2
Vamos definir o evento de transferência: seja
a hipótese de a bola transferida ser vermelha e
a hipótese de ela ser azul.
A urna I tem 5 vermelhas e 3 azuis, logo
A urna I tem 5 vermelhas e 3 azuis, logo
Passo 3
Agora, dado cada hipótese de transferência, calculamos a probabilidade de retirar duas vermelhas da urna II:
- Se
, a urna II passa a ter 3 azuis e 4 vermelhas (total 7 bolas), mas antes de retirar já havia 2 azuis e 3 vermelhas, então depois da transferência há azuis e vermelhas, ou seja, 2 azuis e 4 vermelhas, total 6 bolas. A probabilidade de duas vermelhas é
- Se
, a urna II passa a ter 3 azuis e 3 vermelhas. A probabilidade de duas vermelhas é
Passo 4
Pela lei da probabilidade total, a probabilidade de tirar duas vermelhas da urna II é
Passo 5
Para a parte (b), queremos
Resposta
(a)
(b)
(b)