1. (2 pontos) Dados os vetores u=(3,1,2) e v=(6,2,3),
    (a) calcular a área do paralelogramo determinado por u e v.
    (b) determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u e v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores vec u=(3,1,2) e vec v=(6,2,3) e pede:
(a) a área do paralelogramo gerado por vec u e vec v;
(b) um vetor unitário ortogonal a ambos.
Para isso vamos usar o produto vetorial, já que a área é |vec utimesvec v|, e a direção ortogonal é dada justamente por vec utimesvec v.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial vec utimesvec v pela fórmula
vec utimesvec v = (u2v3 - u3v2,;u3v1 - u1v3,;u1v2 - u2v1)
Substituindo u1=3, u2=1, u3=2, v1=6, v2=2, v3=3, obtemos
vec utimesvec v = (1cdot3 - 2cdot2,;2cdot6 - 3cdot3,;3cdot2 - 1cdot6) = (-1,,3,,0)

Passo 3

A área do paralelogramo é a norma de vec utimesvec v, ou seja
|vec utimesvec v| = raiz(-1)^2 + 3^2 + 0^2 = raiz10

Passo 4

Um vetor ortogonal a vec u e vec v é vec utimesvec v = (-1,3,0). Para torná-lo unitário, dividimos pela norma raiz10, resultando em
vec utimesvec v|vec utimesvec v| = l(-1raiz10,;3raiz10,;0r)

Resposta

(a) raiz10
(b) l(-tfrac1raiz10,;tfrac3raiz10,;0r)

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