(6,0 pontos) Dados os vetores vec{u}=(1,1,4), \vec{v}=\left(0,-\frac{1}{2}, 0\right) e vec{w}=(-1,2,2), calcular:
o produto vetorial de \vec{u} e \vec{w}.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(1,1,4) e \vec{w}=(-1,2,2) e pede para calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{w}. O conteúdo é o produto vetorial em \mathbb{R}^3, que nos dá um vetor perpendicular a \vec{u} e \vec{w} e cujas componentes são dadas por determinantes de submatrizes.

Passo 2

Para dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3), o produto vetorial é
\vec{u}\times\vec{w} = \bigl(u_2w_3 - u_3w_2,\;u_3w_1 - u_1w_3,\;u_1w_2 - u_2w_1\bigr).

Passo 3

Identificamos u_1=1, u_2=1, u_3=4 e w_1=-1, w_2=2, w_3=2. Calculamos:
u_2w_3 - u_3w_2 = 1\cdot2 - 4\cdot2 = 2 - 8 = -6,
u_3w_1 - u_1w_3 = 4\cdot(-1) - 1\cdot2 = -4 - 2 = -6,
u_1w_2 - u_2w_1 = 1\cdot2 - 1\cdot(-1) = 2 + 1 = 3.

Passo 4

Reunindo as componentes, obtemos
\vec{u}\times\vec{w} = (-6,\,-6,\,3).

Resposta

\vec{u}\times\vec{w}=(-6,-6,3)

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