(6,0 pontos) Dados os vetores vec{u}=(1,1,4), \vec{v}=\left(0,-\frac{1}{2}, 0\right) e vec{w}=(-1,2,2), calcular:
o produto misto de \vec{w}, \vec{u} \mathrm{c}-2 \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,1,4), \vec{v}=\bigl(0,-\tfrac12,0\bigr) e \vec{w}=(-1,2,2)
e pede o produto misto [\vec{w},\vec{u},-2\vec{v}], que por definição é
\vec{w}\cdot\bigl(\vec{u}\times(-2\vec{v})\bigr).
Para resolver vamos usar a definição de produto vetorial para obter \vec{u}\times\vec{v}, depois a linearidade para \vec{u}\times(-2\vec{v}) e finalmente o produto escalar.

Passo 2

Calculamos primeiro
\vec{u}\times\vec{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&1&4\\\\ 0&-\tfrac12&0 \end{vmatrix} =\mathbf{i}\,(1\cdot0-4\cdot(-\tfrac12)) -\mathbf{j}\,(1\cdot0-4\cdot0) +\mathbf{k}\,(1\cdot(-\tfrac12)-1\cdot0)
\vec{u}\times\vec{v} =2\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}-\tfrac12\,\mathbf{k} =(2,0,-\tfrac12).

Passo 3

Pela linearidade do produto vetorial em relação ao segundo fator,
\vec{u}\times(-2\vec{v}) =-2\,(\vec{u}\times\vec{v}) =-2\,(2,0,-\tfrac12) =(-4,0,1).

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar de \vec{w} com esse resultado:
\vec{w}\cdot\bigl(\vec{u}\times(-2\vec{v})\bigr) =(-1,2,2)\cdot(-4,0,1) =(-1)\cdot(-4)+2\cdot0+2\cdot1 =4+0+2 =6.

Resposta

O produto misto [\vec{w},\vec{u},-2\vec{v}] vale 6.

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