Sejam
uma função escalar e
um campo vetorial. Em cada um dos itens abaixo decida se a expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
O enunciado pede analisar a expressão
.
Aqui temos três operadores de cálculo vetorial em sequência:
– é o gradiente de uma função escalar
, que gera um campo vetorial.
– , também escrito
, transforma um campo vetorial em outro campo vetorial.
– , também escrito
, transforma um campo vetorial em um campo escalar.
Vamos verificar se cada aplicação é válida e qual o tipo de campo que sobra no final.
Aqui temos três operadores de cálculo vetorial em sequência:
–
–
–
Vamos verificar se cada aplicação é válida e qual o tipo de campo que sobra no final.
Passo 2
Primeiro aplicamos o gradiente a
, obtendo um campo vetorial
. Em seguida calculamos o rotacional desse campo: sabe-se pela identidade clássica do cálculo vetorial que
Portanto
é o campo vetorial nulo, mas é perfeitamente bem definido.
Passo 3
Agora aplicamos a divergência ao campo vetorial
. A divergência de qualquer campo vetorial, inclusive o nulo, é um escalar. Em particular
Logo a expressão
é bem definida e resulta num campo escalar constante.
Resposta
A expressão é bem definida e produz um campo escalar (identicamente zero).