Sejam f uma função escalar e F um campo vetorial. Em cada um dos itens abaixo decida se a expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
div(rot(nabla f))

Passo 1

O enunciado pede analisar a expressão
div(rot(nabla f)).
Aqui temos três operadores de cálculo vetorial em sequência:
nabla f é o gradiente de uma função escalar f, que gera um campo vetorial.
rot, também escrito nablatimes, transforma um campo vetorial em outro campo vetorial.
div, também escrito nablacdot, transforma um campo vetorial em um campo escalar.
Vamos verificar se cada aplicação é válida e qual o tipo de campo que sobra no final.

Passo 2

Primeiro aplicamos o gradiente a f, obtendo um campo vetorial nabla f. Em seguida calculamos o rotacional desse campo: sabe-se pela identidade clássica do cálculo vetorial que
rot(nabla f)=nablatimes(nabla f)=vec 0
Portanto rot(nabla f) é o campo vetorial nulo, mas é perfeitamente bem definido.

Passo 3

Agora aplicamos a divergência ao campo vetorial rot(nabla f)=vec 0. A divergência de qualquer campo vetorial, inclusive o nulo, é um escalar. Em particular
div(vec 0)=nablacdotvec 0=0
Logo a expressão div(rot(nabla f)) é bem definida e resulta num campo escalar constante.

Resposta

A expressão é bem definida e produz um campo escalar (identicamente zero).

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