( 2,0 pontos) Dê a definição de valor esperado e apresente dois exemplos.

Passo 1

O enunciado pede que a gente dê a definição de valor esperado de uma variável aleatória e apresente dois exemplos. O conteúdo aqui é Probabilidade, mais especificamente o conceito de esperança matemática ou média de uma variável aleatória.

Passo 2

A definição de valor esperado varia conforme o tipo de variável:
Para variável discreta X com suporte em \{x_i\} e probabilidades P(X=x_i), definimos
\mathbb{E}[X] \;=\;\sum_{i} x_i\,P(X=x_i).
Para variável contínua X com função densidade f_X(x), definimos
\mathbb{E}[X] \;=\;\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Exemplo 1 (discreto): seja X o resultado de um dado honesto de seis faces. Então X\in\{1,2,3,4,5,6\} e P(X=k)=\tfrac{1}{6} para k=1,\dots,6. Logo
\mathbb{E}[X] =\sum_{k=1}^{6}k\cdot\frac{1}{6} =\frac{1+2+3+4+5+6}{6} =3,5.

Passo 4

Exemplo 2 (contínuo): seja Y uma variável com distribuição uniforme no intervalo [a,b]. A densidade vale
f_Y(y)=\begin{cases} \frac{1}{b-a},&a\le y\le b,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
Então
\mathbb{E}[Y] =\int_{a}^{b}y\cdot\frac{1}{b-a}\,\mathrm{d}y =\frac{1}{b-a}\,\biggl[\frac{y^2}{2}\biggr]_{a}^{b} =\frac{a+b}{2}.

Resposta

Definição:
\mathbb{E}[X]=\sum_{i}x_iP(X=x_i) para variável discreta, e
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f_X(x)\,\mathrm{d}x para variável contínua.
Exemplo 1 (discreto): lançamento de dado justo, \mathbb{E}[X]=3,5.
Exemplo 2 (contínuo): Y\sim\mathrm{Unif}(a,b), \mathbb{E}[Y]=(a+b)/2.

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