(2,0 pontos)Em São Francisco, Califórnia, cerca de 44 \% dos dias em um ano apresentam tempo limpo. Calcule a média, a variância e o desvio padrão para o número de dias limpos durante o mês de maio. Interprete os resultados e determine quaisquer valores incomuns.
a. Identifique o evento sucesso e os valores de n, p e q.
b. Determine o produto de n e p para calcular a média.
c. Determine o produto de n, p e q para calcular a variância.
d. Determine a raiz quadrada da variância para calcular o desvio padrão.
e. Interprete os resultados.
f. Determine quaisquer eventos incomuns

Passo 1

O enunciado descreve o número de dias com tempo limpo em maio ( 31 dias) em São Francisco, sabendo que a probabilidade de um dia limpo é 44\%. O conteúdo é distribuição binomial, e vamos precisar dos parâmetros n, p, q e das fórmulas de média, variância e desvio padrão.

Passo 2

Definimos como sucesso “dia com tempo limpo”. O número de ensaios é
n = 31
A probabilidade de sucesso é
p = 0{,}44
e a probabilidade de fracasso é
q = 1 - p = 0{,}56.

Passo 3

A média de uma binomial é
\mu = n p.
Substituindo,
\mu = 31 \times 0{,}44 = 13{,}64.

Passo 4

A variância de uma binomial é
\sigma^2 = n p q.
Substituindo,
\sigma^2 = 31 \times 0{,}44 \times 0{,}56 = 7{,}6384.

Passo 5

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{7{,}6384}\approx 2{,}76.

Passo 6

Interpretação: em maio espera-se, em média, cerca de 13,64 dias limpos, com desvio típico de aproximadamente 2,76 dias. Isso significa que em anos normais é comum variar algo em torno de 3 dias acima ou abaixo de 13,6.

Passo 7

Para identificar eventos incomuns usamos a regra de \mu \pm 2\sigma:
\mu - 2\sigma \approx 13{,}64 - 2\times2{,}76 = 8{,}12,
\mu + 2\sigma \approx 13{,}64 + 2\times2{,}76 = 19{,}16.
Valores de dias limpos em maio iguais a 8 ou menos, ou iguais a 20 ou mais, são considerados incomuns.

Resposta

(a) Sucesso = dia limpo; n=31; p=0{,}44; q=0{,}56.
(b) Média = \mu = np = 31\times0{,}44 = 13{,}64.
(c) Variância = \sigma^2 = npq = 31\times0{,}44\times0{,}56 = 7{,}6384.
(d) Desvio padrão = \sigma = \sqrt{7{,}6384}\approx2{,}76.
(e) Em maio espera-se cerca de 13,6 dias limpos, com variações típicas de \pm 2,8 dias.
(f) Incomuns são 8 dias limpos ou menos, ou 20 dias limpos ou mais.

Exercícios relacionados