( 2,0 pontos)Uma pesquisa descobriu que 34 \% dos adultos americanos esconderam compras de seus cônjuges. Você seleciona aleatoriamente 200 adultos com cônjuges. Qual é a probabilidade de que exatamente 68 deles tenham escondido compras de seu cônjuge?

Passo 1

O enunciado diz que cada adulto com cônjuge pode esconder compras com probabilidade p=0,34, e selecionamos n=200 adultos independentes. Queremos a probabilidade de exatamente 68 sucessos (pessoas que esconderam compras). Esse é um problema de distribuição binomial, mas para n grande podemos usar aproximação normal.

Passo 2

Se X segue binomial com parâmetros n=200 e p=0,34, então
P(X=68) =\binom{200}{68}(0,34)^{68}(1-0,34)^{200-68}
é a fórmula exata.

Passo 3

Para aproximar por normal, verificamos
np=200\cdot0,34=68,\quad n(1-p)=200\cdot0,66=132,
ambos maiores que 5, então podemos usar
X\approx N(\mu,\sigma^2) \quad\text{com}\quad \mu=np=68,\quad \sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{200\cdot0,34\cdot0,66}\approx6,699.

Passo 4

Usamos correção de continuidade:
P(X=68)\approx P\bigl(67,5<X<68,5\bigr) =P\Bigl(\frac{67,5-68}{6,699}<Z<\frac{68,5-68}{6,699}\Bigr).
Calculando os z:
z_1=\frac{67,5-68}{6,699}\approx-0,0746, \quad z_2=\frac{68,5-68}{6,699}\approx0,0746.
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P(X=68)\approx\Phi(0,0746)-\Phi(-0,0746) \approx0,5298-0,4702=0,0596.

Resposta

A probabilidade de exatamente 68 adultos esconderem compras é aproximadamente 0,0596.

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