(3 pontos) Definimos a variável como sendo o erro amostral da média. Suponha que a variância de uma medida da corrente elétrica seja .
b) Que proporção das amostras de tamanho 50 terão erro amostral absoluto maior do que ?
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Queremos descobrir qual a proporção de amostras de tamanho 50 que terão um erro amostral absoluto maior que . Estamos trabalhando com o erro amostral da média definido por , e a variância de uma medida da corrente elétrica é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e propriedades da média amostral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o erro amostral da média. Ele é definido como , onde é a média das amostras e é a média populacional. A variância do erro amostral da média é dada por:
Onde é o tamanho da amostra, que nesse caso é 50.
Passo 3
Calculando a variância do erro amostral:
A seguir, encontramos o desvio padrão do erro amostral, que é a raiz quadrada da variância:
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de que o erro amostral absoluto seja maior que , ou seja:
Para isso, padronizamos a variável utilizando a distribuição normal padrão :
Passo 5
A probabilidade que queremos encontrar pode ser reescrita em termos de P(|Z| > 2,OmegaLambda, Omegaraiz50) = P( |Z| > 2 raiz50Lambda ) :
P( |Z| > 2 raiz50Lambda )
Simplificando:
Passo 6
Usando a tabela da distribuição normal padrão, sabemos que:
P(|Z| > a) = 2 (1 - Phi(a))
Onde P( |Z| > 2 raiz50Lambda ) = 2 (1 - Phi( 2 raiz50Lambda ) ) é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão. Aplicando isso ao nosso caso:
Resposta
A proporção das amostras de tamanho 50 que terão erro amostral absoluto maior que 2 (1 - Phi( 2 raiz50Lambda ) ) é:
Onde representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.