(3 pontos) Definimos a variável e=barX-mu como sendo o erro amostral da média. Suponha que a variância de uma medida da corrente elétrica seja Lambda^2 Omega^2.
b) Que proporção das amostras de tamanho 50 terão erro amostral absoluto maior do que 2 Omega ?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Queremos descobrir qual a proporção de amostras de tamanho 50 que terão um erro amostral absoluto maior que . Estamos trabalhando com o erro amostral da média definido por , e a variância de uma medida da corrente elétrica é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e propriedades da média amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o erro amostral da média. Ele é definido como Var(barX) = Lambda^2, Omega^2n , onde é a média das amostras e é a média populacional. A variância do erro amostral da média é dada por:
Onde é o tamanho da amostra, que nesse caso é 50.

Passo 3

Calculando a variância do erro amostral:
Var(barX) = Lambda^2, Omega^250
A seguir, encontramos o desvio padrão do erro amostral, que é a raiz quadrada da variância:
sigmabarX = Lambda, Omegaraiz50

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de que o erro amostral absoluto seja maior que P(|e| > 2,Omega) = P( | barX - mu | > 2,Omega ) , ou seja:
Z = esigmabarX = barX - muLambda, Omegaraiz50
Para isso, padronizamos a variável utilizando a distribuição normal padrão :

Passo 5

A probabilidade que queremos encontrar pode ser reescrita em termos de P(|Z| > 2,OmegaLambda, Omegaraiz50) = P( |Z| > 2 raiz50Lambda ) :
P( |Z| > 2 raiz50Lambda )
Simplificando:

Passo 6

Usando a tabela da distribuição normal padrão, sabemos que:
P(|Z| > a) = 2 (1 - Phi(a))
Onde P( |Z| > 2 raiz50Lambda ) = 2 (1 - Phi( 2 raiz50Lambda ) ) é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão. Aplicando isso ao nosso caso:

Resposta

A proporção das amostras de tamanho 50 que terão erro amostral absoluto maior que 2 (1 - Phi( 2 raiz50Lambda ) ) é:
Onde representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.

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