(3 pontos) Um piloto de fórmula 1 acaba de entrar no boxe com seu carro. Ele sabe que o carro apresenta pelo menos um entre dois problemas: de injeção e/ou de bobina. A probabilidade de haver problema de injeção é de 0,60 e de bobina, 0,70 . Por outro lado, as probabilidades de o carro retornar à corrida são:
b) 40 %, se houver só problema de injeção.
c) 20 %, se houver ambos os problemas.
Pergunta-se: c) Se o carro retornar à corrida, qual a probabilidade de que ele estivess com os dois problemas?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um carro de Fórmula 1 que pode ter dois tipos de problemas: de injeção (I) e de bobina ©. As probabilidades de cada problema são e . Além disso, sabemos que a probabilidade de o carro retornar à corrida depende dos problemas que ele tem:
  • Se tiver só problema de injeção, ã.
  • Se tiver ambos os problemas, .
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de o carro estar com os dois problemas, dado que ele retornou à corrida, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de o carro ter ambos os problemas ao mesmo tempo, P(I e C) = P(I) times P(C) = 0,60 times 0,70 = 0,42 ou 42% . Assumindo que os problemas são independentes, multiplicamos as probabilidades individuais:

Passo 3

Em seguida, precisamos determinar a probabilidade de o carro retornar à corrida, P(I e não C) = P(I) - P(I e C) = 0,60 - 0,42 = 0,18 ou 18% . Isso pode acontecer de duas maneiras:
  1. O carro tem apenas problema de injeção e retorna à corrida.
  2. O carro tem ambos os problemas e retorna à corrida.
Vamos calcular cada parte:
  • Probabilidade de ter apenas problema de injeção:
    P(R) = P(R | I e C) times P(I e C) + P(R | I e não C) times P(I e não C) ã
  • Probabilidade de retornar à corrida nessas situações:
    P(R) = 0,20 times 0,42 + 0,40 times 0,18 = 0,084 + 0,072 = 0,156 ou 15,6% ãã
    Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teorema de Bayes para encontrar P(I e C | R) = P(R | I e C) times P(I e C)P(R) :
P(I e C | R) = 0,20 times 0,420,156 = 0,0840,156 approx 0,5385 ou 53,85%
Substituindo os valores que já calculamos:

Resposta

A probabilidade de que o carro estivesse com os dois problemas, dado que retornou à corrida, é de aproximadamente 53,85%.

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