(3 pontos) Um piloto de fórmula 1 acaba de entrar no boxe com seu carro. Ele sabe que o carro apresenta pelo menos um entre dois problemas: de injeção e/ou de bobina. A probabilidade de haver problema de injeção é de 0,60 e de bobina, 0,70 . Por outro lado, as probabilidades de o carro retornar à corrida são:
b)
, se houver só problema de injeção.
c)
, se houver ambos os problemas.
Pergunta-se: c) Se o carro retornar à corrida, qual a probabilidade de que ele estivess com os dois problemas?
b)
c)
Pergunta-se: c) Se o carro retornar à corrida, qual a probabilidade de que ele estivess com os dois problemas?
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um carro de Fórmula 1 que pode ter dois tipos de problemas: de injeção (I) e de bobina ©. As probabilidades de cada problema são
e
. Além disso, sabemos que a probabilidade de o carro retornar à corrida depende dos problemas que ele tem:
- Se tiver só problema de injeção,
. - Se tiver ambos os problemas,
.
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de o carro estar com os dois problemas, dado que ele retornou à corrida, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de o carro ter ambos os problemas ao mesmo tempo,
. Assumindo que os problemas são independentes, multiplicamos as probabilidades individuais:
Passo 3
Em seguida, precisamos determinar a probabilidade de o carro retornar à corrida,
. Isso pode acontecer de duas maneiras:
- O carro tem apenas problema de injeção e retorna à corrida.
- O carro tem ambos os problemas e retorna à corrida.
Vamos calcular cada parte:
-
Probabilidade de ter apenas problema de injeção:
-
Probabilidade de retornar à corrida nessas situações:Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teorema de Bayes para encontrar
:
Substituindo os valores que já calculamos:
Resposta
A probabilidade de que o carro estivesse com os dois problemas, dado que retornou à corrida, é de aproximadamente 53,85%.