• ( 2 pontos) Uma urna contém quatro bolas brancas e seis pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa caixa e substituidas por bolas verdes. Em seguida, duas bolas são novamente retiradas, ao acaso, da caixa. Calcule a probabilidade de que sejam bolas da mesma cor.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 4 bolas brancas e 6 pretas, totalizando 10 bolas. Primeiro, vamos remover 3 bolas e substituir por bolas verdes. Depois, retiramos 2 bolas e queremos saber a probabilidade de que essas duas sejam da mesma cor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar como fica a urna após a primeira retirada e substituição. Temos que retirar 3 bolas das 10 iniciais e substituí-las por verdes. Isso pode afetar a quantidade de bolas de cada cor na urna.

Passo 3

Vamos calcular todas as possíveis combinações de retirar 3 bolas de 10. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
onde C(10, 3) = 10!3!7! = 120 é o total de itens e é o número de itens a serem escolhidos. Então,

Passo 4

Agora, vamos considerar as diferentes maneiras de retirar 3 bolas que podem ser brancas, pretas ou uma mistura. Cada cenário vai alterar a quantidade de bolas de cada cor na urna após a substituição.

Passo 5

Vamos analisar os possíveis casos:
  1. Retirar 0 brancas e 3 pretas:
    • Bolas após substituição: 4 brancas, 3 pretas, 3 verdes.
  2. Retirar 1 branca e 2 pretas:
    • Bolas após substituição: 3 brancas, 4 pretas, 3 verdes.
  3. Retirar 2 brancas e 1 preta:
    • Bolas após substituição: 2 brancas, 5 pretas, 3 verdes.
  4. Retirar 3 brancas e 0 pretas:
    • Bolas após substituição: 1 branca, 6 pretas, 3 verdes.

Passo 6

Para cada caso, vamos calcular a probabilidade de retirar 2 bolas da mesma cor na segunda retirada.
Caso 1: 4 brancas, 3 pretas, 3 verdes
Probabilidade de duas brancas:
C(4,2)C(10,2) = 645 = 215
Probabilidade de duas pretas:
C(3,2)C(10,2) = 345 = 115
Probabilidade de duas verdes:
C(3,2)C(10,2) = 345 = 115
Probabilidade total para este caso:
215 + 115 + 115 = 415
Caso 2: 3 brancas, 4 pretas, 3 verdes
Probabilidade de duas brancas:
C(3,2)C(10,2) = 345 = 115
Probabilidade de duas pretas:
C(4,2)C(10,2) = 645 = 215
Probabilidade de duas verdes:
C(3,2)C(10,2) = 345 = 115
Probabilidade total para este caso:
115 + 215 + 115 = 415
Caso 3: 2 brancas, 5 pretas, 3 verdes
Probabilidade de duas brancas:
C(2,2)C(10,2) = 145
Probabilidade de duas pretas:
C(5,2)C(10,2) = 1045 = 29
Probabilidade de duas verdes:
C(3,2)C(10,2) = 345 = 115
Probabilidade total para este caso:
145 + 29 + 115 = 1 + 10 + 345 = 1445
Caso 4: 1 branca, 6 pretas, 3 verdes
Probabilidade de duas brancas:
C(1,2)C(10,2) = 0
Probabilidade de duas pretas:
C(6,2)C(10,2) = 1545 = 13
Probabilidade de duas verdes:
C(3,2)C(10,2) = 345 = 115
Probabilidade total para este caso:
0 + 13 + 115 = 5 + 115 = 615 = 25

Passo 7

Agora, precisamos considerar a probabilidade de cada um desses casos ocorrer na primeira retirada. Usando combinações:
  1. Retirar 0 brancas e 3 pretas:
C(4,0) cdot C(6,3)C(10,3) = 1 cdot 20120 = 20120 = 16
  1. Retirar 1 branca e 2 pretas:
C(4,1) cdot C(6,2)C(10,3) = 4 cdot 15120 = 60120 = 12
  1. Retirar 2 brancas e 1 preta:
C(4,2) cdot C(6,1)C(10,3) = 6 cdot 6120 = 36120 = 310
  1. Retirar 3 brancas e 0 pretas:
C(4,3) cdot C(6,0)C(10,3) = 4 cdot 1120 = 4120 = 130

Passo 8

Finalmente, para encontrar a probabilidade total de retirar duas bolas da mesma cor, vamos somar as probabilidades de cada caso multiplicadas pela probabilidade correspondente dentro de cada caso:
P = (16 times 415) + (12 times 415) + (310 times 1445) + (130 times 25)
Calculando cada termo:
16 times 415 = 490 = 245
12 times 415 = 430 = 215
310 times 1445 = 42450 = 14150 = 775
130 times 25 = 2150 = 175
Somando tudo:
245 + 215 + 775 + 175 = 10225 + 30225 + 21225 + 3225 = 64225

Resposta

A probabilidade de retirar duas bolas da mesma cor é , ou aproximadamente 28,44%.

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