- ( 2 pontos) Uma urna contém quatro bolas brancas e seis pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa caixa e substituidas por bolas verdes. Em seguida, duas bolas são novamente retiradas, ao acaso, da caixa. Calcule a probabilidade de que sejam bolas da mesma cor.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 4 bolas brancas e 6 pretas, totalizando 10 bolas. Primeiro, vamos remover 3 bolas e substituir por bolas verdes. Depois, retiramos 2 bolas e queremos saber a probabilidade de que essas duas sejam da mesma cor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinações.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar como fica a urna após a primeira retirada e substituição. Temos que retirar 3 bolas das 10 iniciais e substituí-las por verdes. Isso pode afetar a quantidade de bolas de cada cor na urna.
Passo 3
Vamos calcular todas as possíveis combinações de retirar 3 bolas de 10. A fórmula para combinações é:
onde
é o total de itens e
é o número de itens a serem escolhidos. Então,
Passo 4
Agora, vamos considerar as diferentes maneiras de retirar 3 bolas que podem ser brancas, pretas ou uma mistura. Cada cenário vai alterar a quantidade de bolas de cada cor na urna após a substituição.
Passo 5
Vamos analisar os possíveis casos:
-
Retirar 0 brancas e 3 pretas:
- Bolas após substituição: 4 brancas, 3 pretas, 3 verdes.
-
Retirar 1 branca e 2 pretas:
- Bolas após substituição: 3 brancas, 4 pretas, 3 verdes.
-
Retirar 2 brancas e 1 preta:
- Bolas após substituição: 2 brancas, 5 pretas, 3 verdes.
-
Retirar 3 brancas e 0 pretas:
- Bolas após substituição: 1 branca, 6 pretas, 3 verdes.
Passo 6
Para cada caso, vamos calcular a probabilidade de retirar 2 bolas da mesma cor na segunda retirada.
Caso 1: 4 brancas, 3 pretas, 3 verdes
Probabilidade de duas brancas:
Probabilidade de duas pretas:
Probabilidade de duas verdes:
Probabilidade total para este caso:
Caso 2: 3 brancas, 4 pretas, 3 verdes
Probabilidade de duas brancas:
Probabilidade de duas pretas:
Probabilidade de duas verdes:
Probabilidade total para este caso:
Caso 3: 2 brancas, 5 pretas, 3 verdes
Probabilidade de duas brancas:
Probabilidade de duas pretas:
Probabilidade de duas verdes:
Probabilidade total para este caso:
Caso 4: 1 branca, 6 pretas, 3 verdes
Probabilidade de duas brancas:
Probabilidade de duas pretas:
Probabilidade de duas verdes:
Probabilidade total para este caso:
Passo 7
Agora, precisamos considerar a probabilidade de cada um desses casos ocorrer na primeira retirada. Usando combinações:
- Retirar 0 brancas e 3 pretas:
- Retirar 1 branca e 2 pretas:
- Retirar 2 brancas e 1 preta:
- Retirar 3 brancas e 0 pretas:
Passo 8
Finalmente, para encontrar a probabilidade total de retirar duas bolas da mesma cor, vamos somar as probabilidades de cada caso multiplicadas pela probabilidade correspondente dentro de cada caso:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A probabilidade de retirar duas bolas da mesma cor é
, ou aproximadamente 28,44%.