(3 pontos) A densidade de um fluido é dada pela equação empírica:
\rho=70,5 \exp \left(8,27 \times 10^{-7} . P\right)
Em que \rho é a densidade ( \mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3} ) e P é a pressão ( \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2} ). a) Qual é a unidade das constantes 70,5 e 8,27 \times 10-7, respectivamente? b) Deduza uma equação para obter a densidade em \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} \mathrm{em} função da pressão em Pascal.

Passo 1

O enunciado dá a densidade \rho em \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3 em função da pressão P em \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2:
\rho = 70{,}5 \,\exp\bigl(8{,}27\times10^{-7}\,P\bigr).
Vamos achar as unidades das constantes e depois reescrever \rho em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3 como função de P em \mathrm{Pa}.

Passo 2

Para 70{,}5 basta ver que em P=0 temos \rho=70{,}5, logo
70{,}5\quad\text{tem unidade de}\quad\mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3.
O coeficiente 8{,}27\times10^{-7} multiplica P dentro do \exp, que exige argumento adimensional. Como P está em \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2, esse coeficiente deve ter unidade inversa de pressão:
(8{,}27\times10^{-7})\;\text{tem unidade de}\;(\mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2)^{-1}=\mathrm{in}^2/\mathrm{lbf}.

Passo 3

Para converter \rho em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3 e P em \mathrm{Pa}:
  1. Converter 70{,}5\,\mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3 em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3:
70{,}5\times\frac{0.45359237}{(0.3048)^3} \approx1129{,}3\;\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Em seguida, para \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3, dividimos por 1000:
1129{,}3\;\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 = 1{,}1293\;\mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
  1. Converter o coeficiente do expoente:
8{,}27\times10^{-7}\times P_{\mathrm{lbf/in}^2} =8{,}27\times10^{-7}\times\frac{P_{\mathrm{Pa}}}{6894{,}757}
logo o novo coeficiente é
\frac{8{,}27\times10^{-7}}{6894{,}757} \approx1{,}1994\times10^{-10}\;\mathrm{Pa}^{-1}.

Passo 4

Juntando tudo, em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3 e P em \mathrm{Pa}, a equação final é
\rho = 1{,}1293\,\exp\bigl(1{,}1994\times10^{-10}\,P\bigr) \quad(\mathrm{g}/\mathrm{cm}^3).

Resposta

a) 70{,}5 tem unidade de \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3 e 8{,}27\times10^{-7} tem unidade de \mathrm{in}^2/\mathrm{lbf}.
b)
\rho = 1{,}1293\,\exp\bigl(1{,}1994\times10^{-10}\,P\bigr) \quad(\mathrm{g}/\mathrm{cm}^3),
com P em \mathrm{Pa}.

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