Verifique, usando a definição, se a função é contínua no ponto dado. f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{2 x+1} em x=8 \quad \Omega(8)= (1) \frac{\sqrt[3]{8}}{2.8+1}=\frac{2}{17}
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{2x+1}
e pede para verificar, usando a definição de continuidade, se f é contínua no ponto x=8. Também é fornecida a proposta
A função é uma razão entre g(x)=\sqrt[3]{x} e h(x)=2x+1.
O ponto de interesse é a=8.
A imagem do ponto sugerida é \Omega(8)=\dfrac{2}{17}.
Passo 2
Primeiro preciso confirmar que f(8) está bem definida (denominador não nulo) e calcular f(8).
O denominador em x=8 é 2\cdot 8+1=17\neq 0. Então f(8) existe e
f(8)=\frac{\sqrt[3]{8}}{2\cdot 8+1}=\frac{2}{17},
portanto a expressão \Omega(8)=\dfrac{2}{17} está correta.
Passo 3
Vou lembrar a definição de continuidade num ponto (modo direto e prático): dizer que f é contínua em a significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
Agora preciso relacionar |g(x)-2| com |x-8|. Uso a identidade algébrica para diferenças de cubos: se u=\sqrt[3]{x} e v=\sqrt[3]{8}=2, então u^3-v^3=x-8 e
u-v=\frac{x-8}{u^2+uv+v^2}.
Portanto
|g(x)-2|=\frac{|x-8|}{u^2+2u+4},
onde u=\sqrt[3]{x}.
Para obter uma desigualdade prática, escolho um intervalo pequeno em torno de 8. Tomemos, por exemplo, \delta_0=1. Se |x-8|<\delta_0 então x\in(7,9). Como a função \sqrt[3]{\cdot} é crescente, para x\in(7,9) temos
Com essa escolha temos |f(x)-f(8)|<\varepsilon. Isso satisfaz exatamente a definição de continuidade em x=8.
Passo 8
Conclusão (em palavras amigas): para qualquer tolerância \varepsilon>0 existe um \delta>0 (por exemplo \delta=\min\{1,\tfrac{2805}{61}\varepsilon\}) tal que |x-8|<\delta implica |f(x)-f(8)|<\varepsilon. Portanto f é contínua em x=8. Além disso confirmamos que o valor no ponto é f(8)=\dfrac{2}{17}.
Resposta
A função é contínua em x=8. \Omega(8)=\dfrac{2}{17}