Verifique, usando a definição, se a função é contínua no ponto dado.
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{2 x+1} em x=8 \quad \Omega(8)= (1) \frac{\sqrt[3]{8}}{2.8+1}=\frac{2}{17}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{2x+1}
e pede para verificar, usando a definição de continuidade, se f é contínua no ponto x=8. Também é fornecida a proposta
\Omega(8)=\frac{\sqrt[3]{8}}{2\cdot 8+1}=\frac{2}{17}.
Informações relevantes:
  • A função é uma razão entre g(x)=\sqrt[3]{x} e h(x)=2x+1.
  • O ponto de interesse é a=8.
  • A imagem do ponto sugerida é \Omega(8)=\dfrac{2}{17}.

Passo 2

Primeiro preciso confirmar que f(8) está bem definida (denominador não nulo) e calcular f(8).
O denominador em x=8 é 2\cdot 8+1=17\neq 0. Então f(8) existe e
f(8)=\frac{\sqrt[3]{8}}{2\cdot 8+1}=\frac{2}{17},
portanto a expressão \Omega(8)=\dfrac{2}{17} está correta.

Passo 3

Vou lembrar a definição de continuidade num ponto (modo direto e prático): dizer que f é contínua em a significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
|x-a|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
O objetivo é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, encontrar um \delta que funcione.

Passo 4

Vou manipular |f(x)-f(8)| para expressá-la em termos de |x-8| e então controlar essa quantidade por um \delta.
Escrevendo g(x)=\sqrt[3]{x} e sabendo g(8)=2, calculo a diferença:
f(x)-f(8)=\frac{g(x)}{2x+1}-\frac{g(8)}{17}=\frac{17g(x)-(2x+1)g(8)}{17(2x+1)}.
Reescrevendo o numerador:
17g(x)-(2x+1)g(8)=17\bigl(g(x)-g(8)\bigr)-2(x-8)g(8),
pois 17-(2x+1)=16-2x=-2(x-8). Assim
|f(x)-f(8)|=\frac{\bigl|\,17\bigl(g(x)-g(8)\bigr)-2g(8)(x-8)\bigr|}{17|2x+1|}.
Usando a desigualdade triangular obtemos uma estimativa conveniente:
|f(x)-f(8)|\le \frac{17|g(x)-g(8)|+2|g(8)|\,|x-8|}{17|2x+1|}.
Como g(8)=2, isto fica
|f(x)-f(8)|\le \frac{17|g(x)-2|+4|x-8|}{17|2x+1|}.

Passo 5

Agora preciso relacionar |g(x)-2| com |x-8|. Uso a identidade algébrica para diferenças de cubos: se u=\sqrt[3]{x} e v=\sqrt[3]{8}=2, então u^3-v^3=x-8 e
u-v=\frac{x-8}{u^2+uv+v^2}.
Portanto
|g(x)-2|=\frac{|x-8|}{u^2+2u+4},
onde u=\sqrt[3]{x}.
Para obter uma desigualdade prática, escolho um intervalo pequeno em torno de 8. Tomemos, por exemplo, \delta_0=1. Se |x-8|<\delta_0 então x\in(7,9). Como a função \sqrt[3]{\cdot} é crescente, para x\in(7,9) temos
u=\sqrt[3]{x}\in\bigl(\sqrt[3]{7},\sqrt[3]{9}\bigr).
Num valor aproximado, \sqrt[3]{7}\approx 1{,}913, então u>1{,}9. Assim, para x neste intervalo,
u^2+2u+4 \ge 1{,}9^2 + 2\cdot 1{,}9 + 4 = 3{,}61 + 3{,}8 + 4 = 11{,}41 > 11.
Logo, para |x-8|<1 vale a desigualdade segura
|g(x)-2| \le \frac{|x-8|}{11}.

Passo 6

Substituo essa estimativa na desigualdade obtida no Passo 4. Para |x-8|<1 (o que garante também |2x+1|\ge 2\cdot 7+1=15) temos
|f(x)-f(8)|\le \frac{17\cdot \dfrac{|x-8|}{11}+4|x-8|}{17\cdot 15}.
Simplificando:
|f(x)-f(8)|\le \frac{\bigl(\dfrac{17}{11}+4\bigr)|x-8|}{255}=\frac{\dfrac{61}{11}|x-8|}{255}=\frac{61}{2805}\,|x-8|.

Passo 7

A desigualdade do Passo 6 mostra que, sempre que |x-8|<1,
|f(x)-f(8)|\le \frac{61}{2805}\,|x-8|.
Dado um \varepsilon>0, basta escolher \delta tal que
|x-8|<\delta\le\min\!\left\{1,\\ \frac{2805}{61}\varepsilon\right\}.
Com essa escolha temos |f(x)-f(8)|<\varepsilon. Isso satisfaz exatamente a definição de continuidade em x=8.

Passo 8

Conclusão (em palavras amigas): para qualquer tolerância \varepsilon>0 existe um \delta>0 (por exemplo \delta=\min\{1,\tfrac{2805}{61}\varepsilon\}) tal que |x-8|<\delta implica |f(x)-f(8)|<\varepsilon. Portanto f é contínua em x=8. Além disso confirmamos que o valor no ponto é f(8)=\dfrac{2}{17}.

Resposta

A função é contínua em x=8.
\Omega(8)=\dfrac{2}{17}

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