Q15:
Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.×
(D) Todas são verdadeiras.
I) Se
é subespaço vetorial de
, então pode-se afirmar que
.
II) Seja
. Se
for linearmente dependente, então pode-se afirmar que
não gera
.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.×
(D) Todas são verdadeiras.
I) Se
II) Seja
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações sobre espaços vetoriais e pede para identificar quais são verdadeiras. O conteúdo envolvido é:
– Propriedade de dimensão de subespaços (teorema da dimensão).
– Relação entre dependência linear de vetores e geração de .
– Propriedade de dimensão de subespaços (teorema da dimensão).
– Relação entre dependência linear de vetores e geração de
Passo 2
Vamos analisar a afirmação I:
“Se é subespaço vetorial de
, então
.”
Teoria aplicada: dada qualquer base de , podemos estendê-la a uma base de
. Como a base de
tem no máximo o mesmo número de vetores que a base estendida em
, conclui-se
“Se
Teoria aplicada: dada qualquer base de
Logo, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Agora a afirmação II:
“Seja . Se
for linearmente dependente, então
não gera
.”
Se é dependente, então um vetor é múltiplo escalar do outro, digamos
. Mas
pode ainda conter
independente de
. Nesse caso
já forma uma base de
, e portanto
geraria
. Logo, a afirmação II é falsa.
“Seja
Se
Passo 4
Como I é verdadeira e II é falsa, apenas a afirmação I está correta. Isso corresponde à alternativa (B).
Resposta
(B)