Q15:

Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.×
(D) Todas são verdadeiras.
I) Se H é subespaço vetorial de V, então pode-se afirmar que \operatorname{dim}(H) \leqslant \operatorname{dim}(V).
II) Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{2}. Se \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\} for linearmente dependente, então pode-se afirmar que \beta não gera \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações sobre espaços vetoriais e pede para identificar quais são verdadeiras. O conteúdo envolvido é:
– Propriedade de dimensão de subespaços (teorema da dimensão).
– Relação entre dependência linear de vetores e geração de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Vamos analisar a afirmação I:
“Se H é subespaço vetorial de V, então \dim(H) \leqslant \dim(V).”
Teoria aplicada: dada qualquer base de H, podemos estendê-la a uma base de V. Como a base de H tem no máximo o mesmo número de vetores que a base estendida em V, conclui-se
\dim(H) \leqslant \dim(V).
Logo, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Agora a afirmação II:
“Seja \beta=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}\subset\mathbb{R}^2. Se \{\vec v_1,\vec v_2\} for linearmente dependente, então \beta não gera \mathbb{R}^2.”
Se \{\vec v_1,\vec v_2\} é dependente, então um vetor é múltiplo escalar do outro, digamos \vec v_2 = \lambda \vec v_1. Mas \beta pode ainda conter \vec v_3 independente de \vec v_1. Nesse caso \{\vec v_1,\vec v_3\} já forma uma base de \mathbb{R}^2, e portanto \beta geraria \mathbb{R}^2. Logo, a afirmação II é falsa.

Passo 4

Como I é verdadeira e II é falsa, apenas a afirmação I está correta. Isso corresponde à alternativa (B).

Resposta

(B)

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