(6 pontos) Sejam
e
vetores com
e
. Qual é a condição sobre
e
para que os vetores
e
sejam ortogonais?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A gente tem dois vetores,
e
, que são diferentes de zero. A questão quer saber qual a condição que esses vetores precisam satisfazer para que os vetores
e
sejam ortogonais. Para isso, vamos precisar lembrar do que significa vetores serem ortogonais e como calcular o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, queremos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular esse produto escalar. Usamos a propriedade distributiva do produto escalar:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
-
-
-
(já que o produto escalar é comutativo) -
Passo 5
Agora, somando todos esses termos:
Perceba que os termos
Passo 6
Como queremos que o produto escalar seja zero para que os vetores sejam ortogonais, temos:
Passo 7
Rearranjando a equação para encontrar a condição:
Ou seja:
Resposta
A condição necessária é que o produto escalar de
consigo mesmo seja
vezes o produto escalar de
consigo mesmo, ou seja: