(6 pontos) Sejam u e v vetores com u neq 0 e v neq 0. Qual é a condição sobre u e v para que os vetores 2 u+3 v e 2 u-3 v sejam ortogonais?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A gente tem dois vetores, u e v, que são diferentes de zero. A questão quer saber qual a condição que esses vetores precisam satisfazer para que os vetores 2u + 3v e 2u - 3v sejam ortogonais. Para isso, vamos precisar lembrar do que significa vetores serem ortogonais e como calcular o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, queremos que:
(2u + 3v) cdot (2u - 3v) = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular esse produto escalar. Usamos a propriedade distributiva do produto escalar:
(2u + 3v) cdot (2u - 3v) = 2u cdot 2u + 2u cdot (-3v) + 3v cdot 2u + 3v cdot (-3v)

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
  • 2u cdot 2u = 4(u cdot u)
  • 2u cdot (-3v) = -6(u cdot v)
  • 3v cdot 2u = 6(v cdot u) = 6(u cdot v) (já que o produto escalar é comutativo)
  • 3v cdot (-3v) = -9(v cdot v)

Passo 5

Agora, somando todos esses termos:
4(u cdot u) - 6(u cdot v) + 6(u cdot v) - 9(v cdot v)
Perceba que os termos -6(u cdot v) e +6(u cdot v) se cancelam, então ficamos com:
4(u cdot u) - 9(v cdot v)

Passo 6

Como queremos que o produto escalar seja zero para que os vetores sejam ortogonais, temos:
4(u cdot u) - 9(v cdot v) = 0

Passo 7

Rearranjando a equação para encontrar a condição:
4(u cdot u) = 9(v cdot v)
Ou seja:
u cdot uv cdot v = 94

Resposta

A condição necessária é que o produto escalar de u consigo mesmo seja 94 vezes o produto escalar de v consigo mesmo, ou seja:
4(u cdot u) = 9(v cdot v)

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