(2 pontos) Determine a equação da pạrábola cuja reta focal é paralela ao eixo O X e passa pelos pontos \left(\frac{3}{2},-1\right),(0,5) e (-6,7).
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma parábola cuja reta focal (isto é, o eixo de simetria) é paralela ao eixo OX e que passa por três pontos dados. Como essa reta é paralela a OX, o eixo da parábola é horizontal, de modo que a parábola abre para a direita ou para a esquerda.
Passo 2
Para uma parábola com eixo horizontal, a forma mais geral é
x \;=\; a\,y^{2}\;+\;b\,y\;+\;c,
onde a, b e c são constantes a determinar.
Passo 3
Como a parábola passa por \bigl(x,y\bigr)=(\tfrac{3}{2},-1), (0,5) e (-6,7), temos o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira, respectivamente, para eliminar c\), obtemos
\[\begin{cases} 25a + 5b + c \;-\;(a - b + c) \;=\;0-\tfrac{3}{2} \;\Longrightarrow\;24a+6b = -\tfrac{3}{2},\\\\ 49a + 7b + c \;-\;(25a+5b+c) \;=\;-6-0 \;\Longrightarrow\;24a+2b = -6. \end{cases}
Dividindo a primeira por 6\] e a segunda por \(2, vem
4a + b = -\tfrac{1}{4}, \quad 12a + b = -3.
Subtraindo as duas, achamos
8a = -\tfrac{11}{4} \;\Longrightarrow\; a = -\tfrac{11}{32}.
Substituindo em 12a + b = -3, segue
12\bigl(-\tfrac{11}{32}\bigr) + b = -3 \;\Longrightarrow\; -\tfrac{33}{8} + b = -3 \;\Longrightarrow\; b = \tfrac{9}{8}.
Passo 5
Finalmente, usamos a primeira equação a - b + c = \tfrac{3}{2} para encontrar c:
-\tfrac{11}{32} \;-\;\tfrac{9}{8} \;+\;c = \tfrac{3}{2} \;\Longrightarrow\; -\tfrac{11}{32} - \tfrac{36}{32} + c = \tfrac{48}{32} \;\Longrightarrow\; c = \tfrac{95}{32}.
Passo 6
Portanto a equação da parábola, em forma explícita, é
x = -\tfrac{11}{32}\,y^{2} \;+\;\tfrac{9}{8}\,y \;+\;\tfrac{95}{32}.