(4) (2 pontos) Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência absoluta e convergência condicional de séries, além de usar o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série sem considerar os sinais negativos, ou seja, analisamos a série .
Passo 3
Agora, precisamos saber se essa nova série sumn=1^infty 1ln (n+1) converge. Para isso, vamos usar o Teste da Comparação com uma série que já conhecemos. Sabemos que a série sumn=2^infty 1ln n diverge, porque o denominador cresce muito devagar para que a soma se estabilize.
Passo 4
Como a série sumn=1^infty 1ln (n+1) é basicamente a mesma que a que sabemos que diverge, podemos concluir que ela também diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 5
Como a série não é absolutamente convergente, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada sumn=1^infty (-1)^n an converge se:
Os termos an são decrescentes.
O limite dos termos an quando n vai para o infinito é zero.
Passo 6
No nosso caso, an = 1ln (n+1) . Vamos verificar as condições:
Decrescentes: À medida que n aumenta, ln (n+1) também aumenta, então 1ln (n+1) diminui.
Limite zero: limn to infty 1ln (n+1) = 0 .
Passo 7
Como ambos os critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, podemos concluir que a série sumn=1^infty (-1)^nln (n+1) é condicionalmente convergente.