Use o teorema de Stokes para determinar a integral
sendo
a circunferência
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de uma circunferência
para um campo vetorial dado. Para isso, vamos utilizar o Teorema de Stokes, que conecta a integral de linha com uma integral de superfície envolvendo o rotacional do campo vetorial. Então, vamos precisar entender como calcular o rotacional e escolher uma superfície adequada para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
que está dentro da integral. A integral dada é:
Isso significa que nosso campo vetorial
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
, que é representado por
. O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada componente:
-
(pois não depende de ) -
(pois não depende de ) -
-
-
-
Substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
cujo contorno é a circunferência
. Como
está no plano
e é uma circunferência de raio
, podemos escolher
como o disco no plano
com
.
A parametrização de
pode ser simplesmente
, variando
e
dentro do disco.
Passo 5
Segundo o Teorema de Stokes, temos que:
Onde
é o vetor normal à superfície
. Como
está no plano
, o vetor normal é
.
Substituindo o rotacional que encontramos:
Passo 6
Vamos calcular a integral de superfície:
Como
é um disco de raio
, é conveniente usar coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares:
Substituindo na integral:
Primeiro, integremos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Sabemos que:
Então, substituindo:
Resposta
A integral
vale
.