Use o teorema de Stokes para determinar a integral ointC^square[(x^2+2y^3)dx+xy^2dy+raiz[3]z^3+1dz] sendo C a circunferência x=acos t, y=asent, z=2 para 0 <= t <= 2pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de uma circunferência C para um campo vetorial dado. Para isso, vamos utilizar o Teorema de Stokes, que conecta a integral de linha com uma integral de superfície envolvendo o rotacional do campo vetorial. Então, vamos precisar entender como calcular o rotacional e escolher uma superfície adequada para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F que está dentro da integral. A integral dada é:
ointC [ (x^2 + 2y^3)dx + xy^2 dy + raiz[3]z^3+1 dz ]
Isso significa que nosso campo vetorial F é:
F = ( x^2 + 2y^3 ) i + xy^2 j + raiz[3]z^3+1 k

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de F , que é representado por nabla times F . O rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  1. partial Fzpartial y = partialpartial y ( raiz[3]z^3+1 ) = 0 (pois Fz não depende de y )
  2. partial Fypartial z = partialpartial z ( xy^2 ) = 0 (pois Fy não depende de z )
  3. partial Fxpartial z = partialpartial z ( x^2 + 2y^3 ) = 0
  4. partial Fzpartial x = partialpartial x ( raiz[3]z^3+1 ) = 0
  5. partial Fypartial x = partialpartial x ( xy^2 ) = y^2
  6. partial Fxpartial y = partialpartial y ( x^2 + 2y^3 ) = 6y^2
Substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times F = (0 - 0) i + (0 - 0) j + (y^2 - 6y^2) k = -5y^2 k

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S cujo contorno é a circunferência C . Como C está no plano z = 2 e é uma circunferência de raio a , podemos escolher S como o disco no plano z = 2 com x^2 + y^2 <= a^2 .
A parametrização de S pode ser simplesmente z = 2 , variando x e y dentro do disco.

Passo 5

Segundo o Teorema de Stokes, temos que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície S . Como S está no plano z = 2 , o vetor normal é k .
Substituindo o rotacional que encontramos:
integral duplaS (-5y^2 k) cdot k , dS = integral duplaS (-5y^2) , dS

Passo 6

Vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (-5y^2) , dS
Como S é um disco de raio a , é conveniente usar coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares:
x = r cos theta, y = r sin theta, dS = r , dr , dtheta
Substituindo na integral:
-5 integral0^2pi integral0^a (r sin theta)^2 cdot r , dr , dtheta = -5 integral0^2pi integral0^a r^3 sin^2 theta , dr , dtheta
Primeiro, integremos em relação a r :
integral0^a r^3 , dr = [ r^44 ]0^a = a^44
Agora, a integral fica:
-5 cdot a^44 integral0^2pi sin^2 theta , dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi
Então, substituindo:
-5 cdot a^44 cdot pi = -5pi a^44

Resposta

A integral ointC [ (x^2 + 2y^3)dx + xy^2 dy + raiz[3]z^3+1 dz ] vale -dfrac5pi a^44.

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