Usar o teorema da divergência para calcular integral duplaS^square x dydz+ydzdx+z^2dxdy, sendo S a superfície exterior ao tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teorema da divergência para calcular a integral de superfície integral duplaS x , dy , dz + y , dz , dx + z^2 , dx , dy. A superfície S é a parte externa de um tetraedro limitado pelos planos coordenados ( x=0, y=0, z=0) e pelo plano x + y + z = 2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o teorema da divergência e como aplicá-lo a esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o teorema da divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial F sobre uma superfície fechada S com a integral de volume da divergência de F dentro do volume limitado por S . A fórmula é:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Então, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, que pode ser complicado, a gente calcula a divergência de F e integra isso no volume V do tetraedro.

Passo 3

Agora, vamos identificar o campo vetorial F do enunciado. Temos:
F = ( x, , y, , z^2 )
Precisamos calcular a divergência de F , que é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
partial Fxpartial x = partial xpartial x = 1
partial Fypartial y = partial ypartial y = 1
partial Fzpartial z = partial z^2partial z = 2z
Então, a divergência é:
nabla cdot F = 1 + 1 + 2z = 2 + 2z

Passo 5

Agora, precisamos configurar a integral de volume sobre o tetraedro limitado pelos planos x=0 , y=0 , z=0 e x + y + z = 2 . Vamos escolher a ordem de integração dz , dy , dx .
Para x , varia de 0 a 2.
Para um dado x , y varia de 0 a 2 - x .
Para dados x e y , z varia de 0 a 2 - x - y .
Então, a integral fica:
integral triplaV (2 + 2z) , dz , dy , dx = integral0^2 integral0^2 - x integral0^2 - x - y (2 + 2z) , dz , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral em z primeiro:
integral0^2 - x - y (2 + 2z) , dz = [ 2z + z^2 ]0^2 - x - y = 2(2 - x - y) + (2 - x - y)^2

Passo 7

Simplificando:
2(2 - x - y) + (2 - x - y)^2 = 4 - 2x - 2y + (4 - 4x - 4y + x^2 + 2xy + y^2) = 8 - 6x - 6y + x^2 + 2xy + y^2

Passo 8

Agora, integramos com respeito a y :
integral0^2 - x (8 - 6x - 6y + x^2 + 2xy + y^2) , dy
Vamos integrar termo a termo:
integral (8) , dy = 8y
integral (-6x) , dy = -6xy
integral (-6y) , dy = -3y^2
integral x^2 , dy = x^2 y
integral 2xy , dy = x y^2
integral y^2 , dy = y^33
Avaliado de 0 a 2 - x , temos:
8(2 - x) - 6x(2 - x) - 3(2 - x)^2 + x^2(2 - x) + x(2 - x)^2 + (2 - x)^33

Passo 9

Simplificando cada termo:
16 - 8x - 12x + 6x^2 - 3(4 - 4x + x^2) + 2x^2 - x^3 + x(4 - 4x + x^2) + 8 - 12x + 6x^2 - x^33
Simplificando mais:
16 - 20x + 6x^2 - 12 + 12x - 3x^2 + 2x^2 - x^3 + 4x - 4x^2 + x^3 + 8 - 12x + 6x^2 - x^33
Cancelando e combinando termos semelhantes:
4 - 0x + 5x^2 + 0x^3 + 8 - 12x + 6x^2 - x^33

Passo 10

Agora, a última integral com respeito a x :
integral0^2 (4 + 5x^2 + 8 - 12x + 6x^2 - x^33) , dx
Vamos combinar os termos:
integral0^2 (4 + 5x^2 + 83 - 4x + 2x^2 - x^33) , dx = integral0^2 (203 + 7x^2 - 4x - x^33) , dx

Passo 11

Integrando termo a termo:
203x + 7x^33 - 2x^2 - x^412 g|0^2
Avaliando de 0 a 2:
203(2) + 7(8)3 - 2(4) - 1612 = 403 + 563 - 8 - 43 = 963 - 8 = 32 - 8 = 24

Resposta

A integral de superfície solicitada vale 24.

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