Usar o teorema da divergência para calcular
, sendo
a superfície exterior ao tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teorema da divergência para calcular a integral de superfície
. A superfície
é a parte externa de um tetraedro limitado pelos planos coordenados (
,
,
) e pelo plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o teorema da divergência e como aplicá-lo a esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o teorema da divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície fechada
com a integral de volume da divergência de
dentro do volume limitado por
. A fórmula é:
Então, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, que pode ser complicado, a gente calcula a divergência de
e integra isso no volume
do tetraedro.
Passo 3
Agora, vamos identificar o campo vetorial
do enunciado. Temos:
Precisamos calcular a divergência de
, que é dada por:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, a divergência é:
Passo 5
Agora, precisamos configurar a integral de volume sobre o tetraedro limitado pelos planos
,
,
e
. Vamos escolher a ordem de integração
.
Para
, varia de 0 a 2.
Para um dado ,
varia de 0 a
.
Para dados e
,
varia de 0 a
.
Para um dado
Para dados
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 7
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos com respeito a
:
Vamos integrar termo a termo:
Avaliado de 0 a
, temos:
Passo 9
Simplificando cada termo:
Simplificando mais:
Cancelando e combinando termos semelhantes:
Passo 10
Agora, a última integral com respeito a
:
Vamos combinar os termos:
Passo 11
Integrando termo a termo:
Avaliando de 0 a 2:
Resposta
A integral de superfície solicitada vale 24.