(2,0 pontos) Determine o valor de m de modo que uma das raízes da equação
x^{2}-6 x+(m+3)=0
seja igual ao quíntuplo da outra.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de m de modo que uma das raízes da equação
x^{2} - 6x + (m+3) = 0
seja igual ao quíntuplo da outra. O conteúdo aplicado será o uso das relações de Viète para soma e produto das raízes de uma equação quadrática.

Passo 2

Sejam \alpha e \beta as raízes da equação. Pelas fórmulas de Viète, temos
\alpha + \beta = 6,
\alpha \beta = m + 3.

Passo 3

Impondo que uma raiz seja o quíntuplo da outra, podemos assumir sem perda de generalidade que
\beta = 5\alpha.
Substituindo na soma das raízes:
\alpha + 5\alpha = 6 \quad\Longrightarrow\quad 6\alpha = 6 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 1,
logo \beta = 5.

Passo 4

Agora usamos o produto das raízes:
\alpha \beta = 1 \cdot 5 = 5.
Como \alpha \beta = m + 3, segue
m + 3 = 5 \quad\Longrightarrow\quad m = 2.

Resposta

m = 2

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