(2,0 pontos) Sejam os conjuntos:
  • A=\{x \mid 3 \leq x<30\}
  • B=\{x \mid x é um número primo \}
  • C=\left\{x \mid x^{3}-28 x^{2}+211 x-408=0\right\}
Determine o conjunto A \cap B \cap C

Passo 1

O enunciado define
A = \{x\mid 3\le x<30\},
B = \{x\mid x é primo \} e
C = \{x\mid x^{3}-28x^{2}+211x-408=0\}.
Queremos encontrar primeiro as raízes do polinômio em C e depois ver quais dessas raízes estão em A e são números primos (isto é, em B).

Passo 2

Para achar C, usamos o teste das raízes racionais: quaisquer raízes inteiras dividem o termo constante 408. Testando valores pequenos, verificamos que x=8 anula o polinômio, pois
8^{3}-28\cdot8^{2}+211\cdot8-408=512-1792+1688-408=0.
Logo, dividimos
x^{3}-28x^{2}+211x-408
por (x-8) e obtemos o quociente
x^{2}-20x+51.
Agora, resolvendo x^{2}-20x+51=0, calculamos o discriminante
\Delta = (-20)^{2}-4\cdot1\cdot51 =400-204=196,
logo \sqrt{\Delta}=14, e as raízes são
x = \frac{20\pm14}{2} \quad\Rightarrow\quad x=17\text{ ou }x=3.
Portanto
C = \{3,\,8,\,17\}.

Passo 3

Agora intersectamos com A = \{x\mid 3\le x<30\}. Como 3,8,17 satisfazem 3\le x<30, temos
A\cap C = \{3,\,8,\,17\}.

Passo 4

Finalmente, intersectamos \{3,8,17\} com B = conjunto dos primos. Destes, apenas 3 e 17 são primos.

Resposta

\{3,17\}

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